§4.1.2  圓的一般方程一、教材分析    教材通過將二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化為(x+)2+(y+)2=后只需討論D2+E2-4F＞0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F＜0.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D2+E2-4F＞0時(shí),表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.    從而得出圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)x2和y2的系數(shù)相同,不等于0；(2)沒有x·y這樣的二次項(xiàng)；(3)D2+E2-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時(shí)滿足才是充要條件.    同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2含有三個(gè)待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三個(gè)待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程.在實(shí)際問題中,究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問題確定.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑,因此,對(duì)于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無直接關(guān)系,通常采用圓的一般方程；有時(shí)兩種方程形式都可用時(shí)也常采用圓的一般方程的形式,這是因?yàn)樗杀苊饨馊畏匠探M.    圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長.我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優(yōu)點(diǎn),在教學(xué)過程中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟練地掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心坐標(biāo)和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學(xué)生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能（1）在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件.（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程.（3）培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力.2．過程與方法通過對(duì)方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力.3．情感態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入新課思路1.①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.②學(xué)生練習(xí):將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式.④能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問題：求過三點(diǎn)A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識(shí)解決又有其簡單的局限性,那么這個(gè)問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個(gè)問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程. （二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法?②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢?③給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請(qǐng)你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子.④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.⑤對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點(diǎn)?討論結(jié)果：①以前學(xué)習(xí)過直線,我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式,最后學(xué)習(xí)一般式.大家知道,我們認(rèn)識(shí)一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、…)展開整理而得到的.②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把標(biāo)準(zhǔn)形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0時(shí)表示圓,r=0時(shí)表示點(diǎn)(a,b),r＜0時(shí)不表示任何圖形.因此式子(x+)2+(y+)2=.(ⅰ)當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí),表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；(ⅱ)當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);(ⅲ)當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.    綜上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí),它表示的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F＞0.    我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.    ⑤圓的一般方程形式上的特點(diǎn):    x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項(xiàng).    圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了.    與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯. （三）應(yīng)用示例思路1例1  判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標(biāo)為(,-),半徑為；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓(xùn)練    求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5；(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑為|b|. 例2  求過三點(diǎn)O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標(biāo).解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.方法二：先求出OM1的中點(diǎn)E(,),M1M2的中點(diǎn)F(,),再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-),                             ①AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-),                                    ②聯(lián)立①②得得則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|,即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2=r2,因?yàn)?/span>O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組,即解此方程組得所以所求圓的方程為(x－4)2＋(y+3)2=52,圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.點(diǎn)評(píng)：請(qǐng)同學(xué)們比較,關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時(shí)設(shè)圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程. 例3  已知點(diǎn)P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.活動(dòng):學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示,本題可利用平面幾何的知識(shí),見中點(diǎn)作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求.圖1解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N,則N為OP的中點(diǎn),即N(5,0).因?yàn)?/span>|MN|=|OQ|=2(定長).所以所求點(diǎn)M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點(diǎn)評(píng):用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜,將它翻譯成代數(shù)語言時(shí)也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時(shí),首先分析軌跡上的動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)情況,探求它是由什么樣的點(diǎn)控制的.解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)Q(x0,y0).因?yàn)?/span>M是PQ的中點(diǎn),所以                        (*)又因?yàn)?/span>Q(x0,y0)在圓x2+y2=16上,所以x02+y02=16.將(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點(diǎn)評(píng):相關(guān)點(diǎn)法步驟:①設(shè)被動(dòng)點(diǎn)M(x,y),主動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0).②求出點(diǎn)M與點(diǎn)Q坐標(biāo)間的關(guān)系                              (Ⅰ)③從(Ⅰ)中解出                                                (Ⅱ)④將(Ⅱ)代入主動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點(diǎn)法,以后要注意運(yùn)用.變式訓(xùn)練    已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0).由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點(diǎn),所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.                                                              因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.所以點(diǎn)M的軌跡是以(,)為圓心,半徑長為1的圓. 思路2例1  求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生審題,教師引導(dǎo),強(qiáng)調(diào)應(yīng)注意的問題,根據(jù)題目特點(diǎn)分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點(diǎn)可求,圓心在一直線上,所以應(yīng)先求交點(diǎn)再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:解兩圓方程組成的方程組得兩圓交點(diǎn)為(0,2),(-4,0).設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組解得a=-3,b=3,r=.故所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.點(diǎn)評(píng)：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 例2  已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(3,0)和(0,-1),則有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x2+y2-4x+4y+3=0.解法二:利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.由題意該圓經(jīng)過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.因?yàn)?/span>|PC|=|RC|,所以.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).而r=|PC|=,故所求圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=5.例3  試求圓C:x2+y2-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱的曲線C′的方程.活動(dòng)：學(xué)生先思考,然后解答,教師引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)的東西,即圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變,另外可利用相關(guān)點(diǎn)法來求.解法一:設(shè)P′(x,y)為所求曲線C′上任意一點(diǎn),P′關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.由題意可得解得                            (*)因?yàn)?/span>P(x0,y0)在圓C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.將(*)代入得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,化簡得x2+y2+4x-3y+5=0,即為C′的方程.解法二:(特殊對(duì)稱)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C′,即求(,-1)關(guān)于直線l:x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)C′(-2,),因此所求圓C′的方程為(x+2)2+(y-)2=.點(diǎn)評(píng)：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質(zhì)解題往往較簡單. （四）知能訓(xùn)練課本練習(xí)1、2、3. （五）拓展提升問題：已知圓x2+y2-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點(diǎn),定點(diǎn)R(1,1),若PR⊥QR,求實(shí)數(shù)m的值.解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),由消去y得5x2+4m-60=0.                               ①由題意,方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,所以60-4m＞0,m＜15.由韋達(dá)定理因?yàn)?/span>PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.                                                 ②因?yàn)?/span>y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.所以m=10,適合m＜15.所以實(shí)數(shù)m的值為10. （六）課堂小結(jié)1.任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D2+E2-4F＞0時(shí),方程表示圓心為(-,-),半徑為r=的圓.2.求圓的方程,應(yīng)根據(jù)條件特點(diǎn)選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān),則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件主要是圓所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo),則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標(biāo)和半徑,因此應(yīng)掌握利用配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法. （七）作業(yè)習(xí)題4.1  A組1、6,B組1、2、3.                                    

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

4.1 圓的方程

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