數(shù)學必修22.3.2圓的一般方程教案-教案下載-教習網(wǎng)

圓的一般方程教學目標　　 (1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件．　　 (2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．　　 (3)理解并能初步應用圓系的知識去處理問題．　　教學重點和難點　　重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F．　　難點：圓系的理解和應用．　　教學過程設計　　 (一)教師講授：　　請同學們看出圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．　　把圓的標準方程展開，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．　　我們把它看成下面的形式：　　 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①　　這個方程是圓的方程．　　反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線是圓．　　 ②　　 (配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？　　 (1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示　　　　 (2)當D2＋E2－4F=0時，方程②表示　　　　 (3)當D2＋E2－4F＜0時，方程②不表示任何圖形　　∴當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．　　　　做圓的一般方程．　　現(xiàn)在我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納)　　 (1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．　　②沒有xy這樣的二次項．　　　　　　　　　　同學們不難發(fā)現(xiàn)，x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．且沒有xy這樣的二次項，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件．但不是充分條件．　　 (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．　　 (二)研究問題1，求過三點O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標．　　 [解法一]設所求圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．　　把已知三點的坐標代入，得三個方程，解這三個方程組成的方程組　　　　∴所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y=0．　　　　 [解法二]先求OM1和OM2的中垂線：　　　　　　 y－1=(－2)(x－2) 2x＋y=5　　　　∴所求圓的方程為，(x－4)2＋(y＋3)2=25．　　　　 [分析]設動點M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出．　　　　解設曲線上的動點為M(x，y)．　　　　化簡得 x2＋y2＋2x－3=0　　配方 (x＋1)2＋y2=4．　　∴所求的軌跡是以C(－1，0)為圓心，2為半徑的圓．　　研究問題3，自P0(x0，y0)作圓x2＋y2=r2的兩切線，切點分別為P1、P2，求證：P1P2所在直線的方程為x0x＋y0y=r2．　　 [分析]自P0(x0，y0)作圖x2＋y2=r2的兩切線，切點分別為P1、P2如具體去求P1、P2的坐標，則運動量是非常大的．為此我們要研究較簡單的辦法．　　 P0P1、P0P2是圓O的兩條切線，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，則O、P1、P0、P2四點共圓，P1、P2為兩個圓的交點，為此我們從兩個圓的交點入手．　　　　即 x2＋y2－x0x－y0y=0．　　　　把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．　　∴P1P2所在直線的方程為x0x＋y0y=r2．　　這里同學們可能有點不太明白，為什么由方程(1)和(2)變出的關系式x0x＋y0y=r2就是過兩圓交點的直線．　　請同學們回憶一下，我們在前面研究兩條曲線交點的有關問題時，研究過這樣一個定理．(課本復習題七，24題)“兩條曲線的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它們的交點是P(x0，y0)．求證：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲線也經(jīng)過點P，這里λ是任意實數(shù)”．　　根據(jù)這一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0．表示過兩圓交點的曲線，為了消去x2，y2項，我們?nèi)ˇ?－1，得曲線方程，x0x＋y0y=r2，實際上是直線x0x＋y0y=r2．就是說，直線x0x＋y0y=r2過兩圓的交點．　　通過這個題，我們有下面一般的結(jié)論：　　如果圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交．　　 (1)當λ≠－1時，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示過圓C1與C2交點的圓．　　 (2)當λ=－1時，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示過圓C1和C2交點的直線．　　這點的證明留給同學們課后去思考，而這個結(jié)論同學們今后在解題中將會得到應用．應當注意的是：　　方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圓，這無數(shù)個圓形成一個集合，這個集合我們把它叫做一個圓系．這個圓系就是經(jīng)過兩圓交點的所有圓的集合．　　 (三)學生課堂練習　　 1．課本練習題1　　 (1)點(0，0)．　　　　　　 2．課本練習題2．　　 (1)圓心為(3，0)，半徑為3；(2)圓心為(0，－b)，半徑為|b|．　　 3．課本練習題3．　　　　　　　　　　 (四)作業(yè)　　習題7．7 5，6，7，8