4.1　圓的方程4.1.2　圓的一般方程
一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？若是圓，它的圓心坐標和半徑分別是什么？
D2＋E2－4F>0
(3)用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟：①根據(jù)題意，選擇圓的標準方程或圓的一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；③解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是：___________________________________________.3．點P(x0，y0)與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置關(guān)系是：P在圓內(nèi)?___________________________，P在圓上?____________________________，P在圓外?__________________________.
A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0 　
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F0 　
4．求軌跡方程的五個步驟：①________：建立適當?shù)淖鴺讼?，?x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；②________：寫出適合條件P的點M的集合P＝{M|p(M)}；③________：用坐標(x，y)表示條件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；④________：化方程F(x，y)＝0為最簡形式；⑤________________：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
2．(2018·遼寧省丹東市期中)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　)A．－1　　　B．1C．3　　　D．－3[解析]　將圓的一般方程化為標準方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，則圓心為(－1,2)．∵直線過圓心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
4．求經(jīng)過兩點P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x軸上截得的弦長為6的圓的方程．
m是什么實數(shù)時，關(guān)于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一個圓？
命題方向1　?二元二次方程與圓的關(guān)系
『規(guī)律方法』　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有兩種方法：①由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0，則表示圓，否則不表示圓；②將方程配方，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．應(yīng)用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式．若不是，則要化為這種形式再求解．
〔跟蹤練習1〕已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：(1)實數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標和半徑．
已知△ABC的三個頂點為A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圓的一般方程．
命題方向2　?用待定系數(shù)法求圓的方程
『規(guī)律方法』　用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟如下：
求圓的方程的基本思想(1)由圓的標準方程和圓的一般方程可以看出方程都含有三個參數(shù)，因此必須具備三個獨立的條件，才能確定一個圓；(2)求圓的方程時，若能根據(jù)已知條件找出圓心坐標和半徑，則可直接寫出圓的標準方程，否則可通過圓的標準方程或圓的一般方程用待定系數(shù)法求解；(3)解答圓的相關(guān)問題時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)，以簡化運算過程．
〔跟蹤練習2〕求過點C(－1,1)和D(1,3)且圓心在直線y＝x上的圓的一般方程．
求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．步驟如下：
(2)代入法(也稱相關(guān)點法)：若動點P(x，y)跟隨某條曲線(直線)C上的一個動點Q(x0，y0)的運動而運動，則找到所求動點與已知動點的關(guān)系，代入已知動點所在的方程．具體步驟如下：①設(shè)所求軌跡上任意一點P(x，y)，與點P相關(guān)的動點Q(x0，y0)；②根據(jù)條件列出x，y與x0、y0的關(guān)系式，求得x0、y0(即用x，y表示出來)；③將x0、y0代入已知曲線的方程，從而得到點D(x，y)滿足的關(guān)系式即為所求的軌跡方程．(3)定義法：動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程．
　等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊一個端點是B(3,5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．
已知點P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程．
〔跟蹤練習4〕(2019·鄭州高一檢測)已知圓的方程為x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求過點A(－3，－5)的直線與圓相交所得弦PQ的中點M的軌跡方程．
已知點O(0,0)在圓x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范圍．
忽視圓的方程成立的條件
[思路分析]　方程是否滿足表示圓的條件，這是將二元二次方程按圓的方程處理時應(yīng)首先考慮的問題．
2．過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為(　　)A．x2＋y2－2x－3y＝0　　　B．x2＋y2＋2x－3y＝0C．x2＋y2－2x＋3y＝0　　　D．x2＋y2＋2x＋3y＝0
3．(浙江文)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________________，半徑是________.[解析]　由題可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圓，故圓心為(－2，－4)，半徑為5.當a＝2時，方程不表示圓．
4．已知圓經(jīng)過A(2，－3)和B(－2，－5)，若圓心在直線x－2y－3＝0上，求圓的方程．

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4.1 圓的方程

版本： 人教版新課標A

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