1．進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的角平分線(兩腰上的高，中線)的性質(zhì)；


2．學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))











一、情境導(dǎo)入


我們欣賞下列兩個(gè)建筑物(如圖)，圖中的三角形是什么樣的特殊三角形？這樣的三角形我們是怎樣定義的，有什么性質(zhì)？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上的高、中線)的相關(guān)性質(zhì)








如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，求證：DE∥BC.


證明：因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因?yàn)镃D⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在△BEC與△CDB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BEC＝∠CDB，,∠EBC＝∠DCB，,BC＝CB，))所以△BEC≌△CDB，所以BD＝CE，所以AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又因?yàn)椤螦是△ADE和△ABC的頂角，所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC.


方法總結(jié)：等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等．


探究點(diǎn)二：等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)


【類型一】 利用等邊三角形的性質(zhì)求角度





如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．


解析：因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角為60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度數(shù)，因?yàn)锽E＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度數(shù)，利用外角性質(zhì)即可求出∠CED的度數(shù)．


解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.


方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題上，所以必須熟練掌握．





【類型二】 利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段相等





如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：BM＝EM.


解析：要證BM＝EM，由題意證△BDM≌△EDM即可．


證明：連接BD，∵在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB和△DME中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DMB＝∠DME，,∠DBM＝∠E，,DM＝DM，))∴△DME≌△DMB.∴BM＝EM.


方法總結(jié)：證明線段相等可利用三角形全等得到．還應(yīng)明白等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性質(zhì)完全適合等邊三角形．


【類型三】 等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的綜合運(yùn)用








△ABC為正三角形，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是邊CA上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，求∠BQM的度數(shù)．


解析：先根據(jù)已知條件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得∠AQN＝∠ABC＝60°.


解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BC，,∠ABC＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)，


∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.


方法總結(jié)：等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)探究三角形全等．


三、板書(shū)設(shè)計(jì)


1．等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上的高、中線)的相關(guān)性質(zhì)


等腰三角形兩底角的平分線相等；


等腰三角形兩腰上的高相等；


等腰三角形兩腰上的中線相等．


2．等邊三角形的性質(zhì)


等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.





本節(jié)課讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)等腰三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等邊三角形．學(xué)習(xí)等邊三角形的定義、性質(zhì)．讓學(xué)生在探索圖形特征以及相關(guān)結(jié)論的活動(dòng)中，進(jìn)一步培養(yǎng)空間觀念，鍛煉思維能力．讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，進(jìn)一步產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，增強(qiáng)動(dòng)手能力和創(chuàng)新意識(shí).


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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

1 等腰三角形

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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