初中數(shù)學北師大版八年級下冊1 等腰三角形第4課時教學設(shè)計及反思

這是一份初中數(shù)學北師大版八年級下冊1 等腰三角形第4課時教學設(shè)計及反思，共3頁。教案主要包含了情境導入，合作探究，板書設(shè)計等內(nèi)容，歡迎下載使用。



1．學習并掌握等邊三角形的判定方法，能夠運用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問題；(重點、難點)


2．理解并掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)，能靈活運用其解決有關(guān)問題．(難點)











一、情境導入


觀察下面圖形：





師：等腰三角形中有一種特殊的三角形，你知道是什么三角形嗎？


生：等邊三角形．


師：對，等邊三角形具有和諧的對稱美．今天我們來學習等邊三角形，引出課題．


二、合作探究


探究點一：等邊三角形的判定


【類型一】 三邊都相等的三角形是等邊三角形


已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形．


解析：把已知的關(guān)系式化為兩個完全平方的和等于0的形式求解．


解：移項得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，


∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，


∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，


∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，


∴a＝b＝c.


故△ABC是等邊三角形．


方法總結(jié)：(1)幾個非負數(shù)的和為零，那么每一個非負數(shù)都等于零；(2)有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．


【類型二】 三個角都是60°的三角形是等邊三角形





如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC.試判定△ODE的形狀，并說明你的理由．


解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DOE＝60°，從而可得△ODE是等邊三角形．


解：△ODE是等邊三角形，


理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.


∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.


∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.


∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.


∴△ODE是等邊三角形．


方法總結(jié)：證明一個三角形是等邊三角形時，如果較易求出角的度數(shù)，那么就可以分別求出這個三角形的三個角都等于60°，從而判定這個三角形是等邊三角形．


【類型三】 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形


如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，AB＝BC.試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．





解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根據(jù)等邊對等角及三角形外角性質(zhì)，可求得∠CBE＝eq \f(1,2)∠ECB.再由BE⊥CE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，從而得出△ABC是等邊三角形．


解：△ABC是等邊三角形．


理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.


又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.


∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝eq \f(1,2)∠ECB.


∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.


又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋eq \f(1,2)∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.


又∵AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形．


方法總結(jié)：(1)已知一個三角形中兩邊相等，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個三角形中有一個角等于60°.(2)已知一個三角形中有一個角等于60°，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明另外兩個角也等于60°；②證明這個三角形中有兩邊相等．





探究點二：含30°角的直角三角形的性質(zhì)


【類型一】 利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長








如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是( )


A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm


解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.


方法總結(jié)：運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．


【類型二】 與角平分線有關(guān)的綜合運用


如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于( )


A．3 B．2


C．1.5 D．1





解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝eq \f(1,2)PC＝eq \f(1,2)×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故選C.


方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線的綜合運用時，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．


【類型三】 利用含30°角的直角三角形解決實際問題


某市在“舊城改造”中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，這種草皮每平方米的售價是a元，求購買這種草皮至少需要多少元？





解析：作BD⊥CA交CA的延長線于點D.在Rt△ABD中，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半求BD，即△ABC的高．運用三角形面積公式計算面積求解．


解：如圖所示，過點B作BD⊥CA交CA的延長線于點D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝eq \f(1,2)AB＝20m，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×50×20＝500(m2)．∵這種草皮每平方米a元，∴一共需要500a元．


方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵在于作出CA邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)求BD的長，正確的計算出△ABC的面積．


三、板書設(shè)計


1．等邊三角形的判定


三邊都相等的三角形是等邊三角形；


三個角都是60°的三角形是等邊三角形；


有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．


2．含30°角的直角三角形的性質(zhì)


在直角三角形中，如果一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．





本節(jié)課借助于教學活動的展開，有效地激發(fā)了學生的探究熱情和學習興趣，從而引導學生通過自主探究以及合作交流等活動探究并歸納出本節(jié)課所學的新知識，有助于學生思維能力的提高．不足之處是部分學生綜合運用知識解決問題的能力還有待于在今后的教學和作業(yè)中進一步的訓練得以提高.