(時(shí)間：120分鐘 滿分：150分)


一、選擇題(每小題5分，共50分)


1. ⊙O的半徑為4 cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA＝6 cm，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系為( )


A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓內(nèi) C．點(diǎn)A在圓外 D．無法確定





如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直于點(diǎn)D，且AB＝8，OC＝5，則CD的長是( )


A．3 B．2.5 C．2 D．1


,第2題圖)





如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠A＝60°，∠B＝24°，則∠C的度數(shù)為( )


A．84° B．60° C．36° D．24°


,第3題圖)





如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D，若∠ACB＝50°，則∠BOD等于( )


A．40° B．50° C．60° D．80°


,第4題圖)





如圖，經(jīng)過原點(diǎn)O的⊙P與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，則∠ACB＝( )


A．80° B．90° C．100° D．無法確定


,第5題圖)





已知正六邊形的邊長為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為( )


A．1 B.eq \r(3) C．2 D．2eq \r(3)





如圖，圓形薄鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上．已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點(diǎn)C落在直尺的10 cm處，鐵片與直尺的唯一公共點(diǎn)A落在直尺的14 cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點(diǎn)為B.下列說法錯(cuò)誤的是( )


A．圓形鐵片的半徑是4 cm B．四邊形AOBC為正方形


C．弧AB的長度為4π cm D．扇形OAB的面積是4π cm2


,第7題圖)


如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC＝124°，點(diǎn)E在AD的延長線上，則∠CDE的度數(shù)為（ ）


A．56° B．62° C．68° D．78°


,第8題圖)





如圖，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中點(diǎn)，CD⊥OB交eq \(AB,\s\up8(︵))于點(diǎn)D，以O(shè)C為半徑的eq \(CE,\s\up8(︵))交OA于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積是（ ）


A．12π＋18eq \r(3) B．12π＋36eq \r(3) C．6π＋18eq \r(3) D．6π＋36eq \r(3)


,第9題圖)





如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)(P與A，B，C，D不重合)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時(shí)，點(diǎn)Q走過的路徑長為（ ）


A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)


,第10題圖)





填空題(每小題5分，共25分)





如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACB＝ .


,第11題圖)


如圖，△ABC的外接圓⊙O的半徑為3，∠C＝55°，則劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))的長是 .(結(jié)果保留π)


,第12題圖)





如圖是一塊環(huán)形玉片的殘片，作外圓的弦AB與內(nèi)圓相切于點(diǎn)C，量得AB＝8 cm，點(diǎn)C與eq \(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)D的距離CD＝2 cm.則此圓環(huán)形玉片的外圓半徑為 .


,第13題圖)





如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作⊙O的切線FG，交AB于點(diǎn)G，則FG的長為 。


,第14題圖)





如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑作⊙P.當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長為 .





解答題(共75分)





(8分)如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中點(diǎn)，CD＝6 cm，求直徑AB的長．























(9分)如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，∠C＝90°.








(1)CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；


(2)若∠CDB＝60°，AB＝6，求eq \(AD,\s\up8(︵))的長．
































(9分)已知圓錐的底面半徑為r＝20 cm，高h(yuǎn)＝20eq \r(15) cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)，在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)．





(1)求圓錐的全面積；


(2)求螞蟻爬行的最短距離．





























(9分)已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝38°.








(Ⅰ)如圖①，若D為eq \(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，求∠ABC和∠ABD的大?。?br/>

(Ⅱ)如圖②，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB的延長線交于點(diǎn)P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
































(9分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長線上，∠BCD＝∠BAC.








(1)求證：CD是⊙O的切線；


(2)若∠D＝30°，BD＝2，求圖中陰影部分的面積．



































(10分)如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C為半圓上任一點(diǎn)．





(1)若∠BAC＝30°，過點(diǎn)C作半圓O的切線交直線AB于點(diǎn)P.求證：△PBC≌△AOC；


(2)若AB＝6，過點(diǎn)C作AB的平行線交半圓O于點(diǎn)D.當(dāng)以點(diǎn)A，O，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，求eq \(BC,\s\up8(︵))的長．



































(10分)如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點(diǎn)E，BC＝8，AD＝3.








(1)求CE的長；


(2)求證：△ABC為等腰三角形；


(3)求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離．









































(11分)問題背景：


如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．


小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處(如圖②)，易證點(diǎn)C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝eq \r(2)CD，從而得出結(jié)論：AC＋BC＝eq \r(2)CD.


簡單應(yīng)用：


(1)在圖①中，若AC＝eq \r(2)，BC＝2eq \r(2)，則CD＝3；


(2)如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙上，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，若AB＝13，BC＝12，求CD的長；


拓展規(guī)律：


(3)如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n(m＜n)，求CD的長．(用含m，n的代數(shù)式表示)



































答案：





C


C


D


D


B


B


C


C


C


A


40°


eq \f(11π,6)


5cm


eq \f(12,5)


3或4eq \r(3)





解：∵AB⊥CD，∴PC＝PD，連接OC，在Rt△OCP中，設(shè)OC＝x cm，則有OP2＋PC2＝OC2，∴(eq \f(1,2)x)2＋32＝x2，∵x＞0，∴x＝2eq \r(3)，所以直徑AB為4eq \r(3) cm








解：





(1)相切．理由如下：連接OD，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD與⊙O相切 (2)若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴eq \(AD,\s\up8(︵))的長＝eq \f(60×π×3,180)＝π











解：





(1)2000π cm2 (2)如圖，設(shè)扇形的圓心角為n°，圓錐的頂點(diǎn)為E，∵r＝20 cm，h＝20eq \r(15) cm，∴由勾股定理可得母線l＝eq \r(r2＋h2)＝80 cm，而圓錐側(cè)面展開后的扇形的弧長為2×20π＝eq \f(nπ×80,180)，∴n＝90，即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得AA′＝eq \r(A′E2＋AE2)＝80eq \r(2) cm，∴螞蟻爬行的最短距離為80eq \r(2) cm











解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB－∠BAC＝90°－38°＝52°，∵D為的eq \(AB,\s\up8(︵))中點(diǎn)，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°





(Ⅱ)連接OD，∵DP切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD是△ODP的一個(gè)外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°








解：(1)連接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線





(2)設(shè)⊙O的半徑為r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60°，∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2eq \r(3)，易求S△AOC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1＝eq \r(3)，S扇形OAC＝eq \f(120π×4,360)＝eq \f(4π,3)，∴陰影部分面積為eq \f(4,3)π－eq \r(3)











解：(1)∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠PBC＝120°，∵CP是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，在△PBC和△AOC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACO＝∠PCB，,OC＝BC，,∠AOC＝∠PBC，))∴△PBC≌△AOC(ASA)





(2)如圖①，連接OD，AD，CD，∵四邊形AOCD是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，則OA＝OD＝OC，∴△AOD與△COD是等邊三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝60°，∴eq \(BC,\s\up8(︵))的長＝eq \f(60π×3,180)＝π；如圖②，同理∠BOC＝120°，∴eq \(BC,\s\up8(︵))的長＝eq \f(120π×3,180)＝2π，綜上所述，eq \(BC,\s\up8(︵))的長為π或2π











解：(1)∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD為△BCE的中位線，∴CE＝2AD＝6 (2)證明：∵BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形





(3)如圖，連接BP，BQ，CQ，在Rt△ABD中，AB＝eq \r(32＋42)＝5，設(shè)⊙P的半徑為R，⊙Q的半徑為r，在Rt△PBD中，(R－3)2＋42＝R2，解得R＝eq \f(25,6)，∴PD＝PA－AD＝eq \f(25,6)－3＝eq \f(7,6)，∵S△ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝S△ABC，∴eq \f(1,2)·r·5＋eq \f(1,2)·r·8＋eq \f(1,2)·r·5＝eq \f(1,2)·3·8，解得r＝eq \f(4,3)，即QD＝eq \f(4,3)，∴PQ＝PD＋QD＝eq \f(7,6)＋eq \f(4,3)＝eq \f(5,2)，△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為eq \f(5,2)








解：(1)由題意知：AC＋BC＝eq \r(2)CD，∴eq \r(2)＋2eq \r(2)＝eq \r(2)CD，∴CD＝3


(2)連接AC，BD，AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，∴AD＝BD，將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，如圖①，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC＋∠DAC＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°，∴E，A，C三點(diǎn)共線，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定理可求得AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB＋∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE＝eq \r(2)CD，∴CD＝eq \f(17\r(2),2)





(3)以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)D1，連接D1A，D1B，D1C，如圖②，由(2)的證明過程可知：AC＋BC＝eq \r(2)D1C，∴D1C＝eq \f(\r(2)（m＋n）,2)，又∵D1D是⊙O的直徑，∴∠DCD1＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2，∴D1D2＝AB2＝m2＋n2，∵D1C2＋CD2＝D1D2，∴CD2＝m2＋n2－eq \f(（m＋n）2,2)＝eq \f(（m－n）2,2)，∵m＜n，∴CD＝eq \f(\r(2)（n－m）,2)





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