高中數學人教B版 (2019)必修 第四冊9.1.2 余弦定理優(yōu)質課課件ppt

這是一份高中數學人教B版 (2019)必修 第四冊9.1.2 余弦定理優(yōu)質課課件ppt，共23頁。PPT課件主要包含了向量法，同理可證，根據兩點間距離公式得，坐標法，余弦定理，語言表述，符號語言，適用范圍，任意三角形，解由余弦定理可知等內容，歡迎下載使用。
利用如圖91-6(1)所示的現代測量工具，可以方便地測出3點之冋的一些距離和角.從而可得到未如的距離與角.
例如，如圖9-1-6(2)所示，A, B分別是兩個山峰的頂點，在山腳下任意選擇一 點C.然后使用測量儀得出AC，BC以及 ACB的大小.你能根據這3個量求出 AB 嗎？
把實際問題抽象成數學模型
已知a，b和角C,如何求c?
以A為原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系
如圖，可知點A（0,0），C（b,0）.
由三角函數的定義得點B的坐標為
（ccsA,csinA）
三角形任意一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦積的2倍.
又余弦定理可以看出，已知三角形兩邊及其夾角，可以求出該三角形的第三邊.
我們已經學習過正弦定理，那么現在探討一下能否用正弦定理證明余弦定理呢？如果能證寫出證明過程，如果不能，說明理由.
例1 在?ABC中，已知a=3,b=6,C=60°,求c.
已知三角形的兩邊及其夾角時，三角形唯一確定.這與我們初中所學的三角形全等的判定定理SAS 一致.
已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，這個三角形能唯一確定嗎？
事實上，當角為較長邊所對的角時，三角形唯一確定.
余弦定理的應用——已知三角形兩邊及其夾角，求第三邊
提示：不能唯一確定。 這與初中所學的SSA不能作為三角形全等的判定定理一致.
例2 在?ABC中，已知a=6,b=4,c= ,求C.
已知三角形的3條邊時，可求出該三角形的三個角，而且該三角形也唯一確定.
這與初中所學的三角形全等的判定定理SSS一致.
余弦定理的應用——已知三角形三邊求角
教材P11練習A 2.已知?ABC中，a=10,b=5,C=120°,求c.
教材P11練習A 3.已知?ABC中，a=6,b=4,c= ,求C.
教材P11練習A 4.已知?ABC中，a=3,b=2,c= ,求角C以及三角形面積.
C=120°
教材P12練習B 4.在?ABC中，分別根據下列條件c. (1)a=4,b=2,A=60°; (2)a=4,b=3,A=45°.
例3 在?ABC中，已知acsA=bcsB是判斷這個三角形的形狀.
故?ABC是等腰三角形或直角三角形.
余弦定理的應用——判斷三角形形狀
所以 2RsinAcsA=2RsinBcsB,
即2sinAcsA=2sinBcsB,從而sin2A=sin2B,
因此2A=2B+2kπ2A+2B=2kπ+π,其中k?Z
判斷三角形形狀的方法：
勾股定理是余弦定理的特殊形式
一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數，則這三邊長為（ ）A、3，4，5 B、2，3，4 C、1，2，3 D、4，5，6
分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗哪一個選項中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。
A中3，4，5是一組勾股數，所以這三邊組成的是直角三角形顯然不滿足。
最大邊對應的角為鈍角，滿足條件。
最大邊對應的角為銳角，不滿足條件。
C中由1，2，3這組數為邊長夠不成三角形。顯然不滿足。
構成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。。
大邊對大角，小邊對小角，大角對大邊，小角對小邊。
例4 如圖所示平行四邊形ABCD中，已知B+D=180°,AB=2,BC= AD= ,求四邊形ABCD面積.
解：連接點A，C，如圖所示.
在?ABC與?ADC中分別使用余弦定理可得
AC2=AB2+BC2-2AB×BCcsB,
AC2=AD2+CD2-2AD×CDcsD.
又因為B+D=180°，所以csD=cs(180°-B)=-csB,
解得csB=0,因此csD=0,則B=D=90°
從而可知四邊形的面積為
平面多邊形問題轉化為三角形問題。
例5 求證：a=bcsC+ccsB.
所以 a2=bacsC+cacsB,
即 a=bcsC+ccsB.
a=bcsC+ccsB能否用向量的幾何意義解釋？
同理可得 b=acsC+ccsA, c=acsB+bcsA.
利用這個結論可以快速解決有關的選擇題和填空題。
教材P12習題9-1B 6.已知 ?ABC 中,a=bcsC + csin B. (1) 求角B； (2) 若b =2,求?ABC面積的最大值.
（1）由已知和正弦定理得 sinA=sinBcsC+sinCsinB,①
又 A=π-(B+C),所以sinA=sin[π-(B+C) ]=sin(B+C),
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC, ②
由①②和C?(0,π),得sinB=csB.
（2）?ABC的面積為
已知平行四邊形ABCD,求證：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
設AD=a,AB=b,∠BAD=α.
在?ABC中，由余弦定理可知 BD2=a2+b2-2abcsα.
在?ACD中， AC2=a2+b2-2abcs(π-α).
兩式相加可得 AC2+BD2=2(a2+b2).
即 AC2+BD2=2(AB2+AD2).
1. 已知△ABC 中，M 為BC 中點，求證；4AM2+BC2 = 2(AB2+AC2).
2. 作CN必AB,與AM的延長線交于N.由第1題結論可知ANZ+BCZ=2(AB2H-ACZ).因為 AN，=4AM\ 所以 4AMz+BC2=2(ABz+AC2).
在?ABC中，若2B＝A＋C，b2＝ac，試判斷△ABC的形狀為________
∵2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－2accs 60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，從而(a－c)2＝0，
∴a＝c，又B＝60°，所以△ABC為等邊三角形
余弦定理 余弦定理變形
（1）已知兩邊及其夾角，求第三邊及另兩個角。（SAS）（2）已知三邊，求三個角。（3）判斷三角形形狀。