高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修第四冊第九章解三角形9.1 正弦定理與余弦定理9.1.2 余弦定理教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

9.1.2　余弦定理學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的方法．(重點(diǎn))2．會運(yùn)用余弦定理解決簡單的三角形度量和邊角轉(zhuǎn)化問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.借助余弦定理的推導(dǎo)，提升邏輯推理的素養(yǎng)．2．通過余弦定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)　如圖，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度．工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢?/span>A，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°.思考：根據(jù)上述條件你能求出山腳BC的長度嗎？1．余弦定理(1)三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．(2)應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題．①已知三邊，求三角．②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．2．余弦定理的推論cos A＝；cos B＝；cos C＝.[拓展](1)若b2＋c2＞a2，根據(jù)余弦定理的推論可知cos A＝＞0，則角A為銳角．同理可得，若a2＋c2＞b2，a2＋b2＞c2，則角B，角C為銳角．所以當(dāng)b2＋c2＞a2，a2＋c2＞b2，且a2＋b2＞c2時，△ABC是銳角三角形．(2)若b2＋c2＜a2，根據(jù)余弦定理的推論可知cos A＝＜0，則△ABC是鈍角三角形且角A是鈍角．同理可得，若a2＋c2＜b2，則△ABC是鈍角三角形且角B是鈍角；若a2＋b2＜c2，則△ABC是鈍角三角形且角C是鈍角．(3)若b2＋c2＝a2，根據(jù)余弦定理的推論可知cos A＝＝0，則△ABC是直角三角形且角A為直角．同理可得，若a2＋c2＝b2，則△ABC是直角三角形且角B是直角；若a2＋b2＝c2，則△ABC是直角三角形且角C是直角．從這個意義上講，余弦定理是勾股定理的推廣．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解． (　　)(2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適用于任何三角形． (　　)(3)利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題． (　　)(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例． (　　)[提示]　(1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解．(2)√.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形．(3)√.結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識可知正確．(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推廣．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，則cos C的值為(　　)A． B．－ C． D．－A　[根據(jù)正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)，則cos C＝＝.]3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則c2＝ .30－4　[由余弦定理可得c2＝(3)2＋(2)2－2×3×2×＝18＋12－4＝30－4.]4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝ .120°　[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝＝－，又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.]合作探究已知兩邊及一角解三角形【例1】　(1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，則c＝ .(2)已知△ABC，根據(jù)下列條件解三角形：a＝，b＝，B＝45°.(1)　[由三角形內(nèi)角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.](2)[解]　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B．∴2＝3＋c2－2×c.即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.當(dāng)c＝時，由余弦定理，得cos A＝＝＝.∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.當(dāng)c＝時，由余弦定理，得cos A＝＝＝－.∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.已知兩邊及一角解三角形的解題思路(1)若已知角是兩邊的夾角．則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，求其余角時有兩種方法：方法一，繼續(xù)選用余弦定理求解，此方法計(jì)算量稍大但是不會出現(xiàn)多解．方法二，用正弦定理求解，此方法計(jì)算量小，但是會出現(xiàn)多解的情況，計(jì)算時要多加小心，利用“大邊對大角，小邊對小角”來排除多余解．(2)若已知角是其中一邊的對角，有兩種方法，一種方法是利用正弦定理先求角(要注意角的取舍，避免產(chǎn)生多解)，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解(應(yīng)注意對方程解的取舍)．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊長c.[解]　5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝.根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.∴c＝4，即第三邊長c為4. 已知三邊或三邊關(guān)系解三角形【例2】　(1)已知△ABC的三邊長為a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大內(nèi)角．(2)在△ABC中，已知c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，求角C．[解]　(1)∵c>a，c>b，∴C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－，∵0°<C<180°，∴C＝120°.∴△ABC的最大內(nèi)角為120°.(2)∵c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，∴[c2－(a2＋b2)]2－a2b2＝0，則c2－(a2＋b2)＝±ab，故cos C＝＝±.又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.已知三角形的三邊解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理或由求得的第一個角，利用正弦定理求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角．(2)根據(jù)余弦定理的推論可知，只要將三角形三邊求出，或求出三邊長度的比值，或求出類似于a2＋b2－c2＝ab的關(guān)系式，就可以求出三個角的余弦值，進(jìn)而求出三個角的大?。?/span>2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，則角A等于(　　)A．30° B．60° C．120° D．150°B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，又角A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝60°.] 正、余弦定理的綜合應(yīng)用[探究問題]1．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2C成立嗎？反之，說法正確嗎？為什么？[提示]　設(shè)△ABC的外接圓半徑為R.由正弦定理的變形，將a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，將sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說法均正確．2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則C＝成立嗎？反之，若C＝，則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？[提示]　因?yàn)?/span>c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝，反之．若C＝，則cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】　在△ABC中，若(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)sin A，判斷△ABC的形狀．[思路探究]　角邊轉(zhuǎn)化．[解]　法一：∵(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，∴由正、余弦定理可得：·b＝·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形．法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為：(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A．∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝.故△ABC是等腰三角形或直角三角形．正、余弦定理判斷三角形形狀(1)法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，法二是借助正弦定理，將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式．這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手段．(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用．3．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(sin A＋sin B)(a－b)＝(sin C－sin B)c.(1)求A的值；(2)若c＝＋，cos B＝，求a的值．[解]　(1)因?yàn)?/span>(sin A＋sin B)(a－b)＝(sin C－sin B)c，所以根據(jù)正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，將b2＋c2－a2＝bc代入上式，得cos A＝，因?yàn)?/span>A∈(0，π)，所以A＝.(2)由B∈(0，π)，cos B＝，得sin B＝＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，由正弦定理得a＝sin A＝×＝3.課堂小結(jié)知識：1．余弦定理．2．余弦定理的推論．方法：解三角形時對題目條件進(jìn)行變形的常有途徑：用正、余弦定理進(jìn)行邊、角轉(zhuǎn)換．若將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的式子，常用正弦定理進(jìn)行變形求解；若將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，常結(jié)合余弦定理解題．1．邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角之和為(　　)A．90° B．120° C．135° D．150°B　[設(shè)中間角為角B，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以B＝60°，所以最大角與最小角的和為180°－B＝180°－60°＝120°.]2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，則△ABC的形狀一定是(　　)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形C　[∵2cos Bsin A＝sin C，∴2×·a＝c，∴a＝b.故△ABC為等腰三角形．]3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊c＝ .2　[根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.]4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，解此三角形．[解]　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)·cos 60°＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，∴b＝4.法一：∵cos A＝＝＝，0°<A<180°，∴A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理＝，∴＝，∴sin A＝，∵b>a，c>a，∴a最小，即A為銳角．因此A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

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