§7.5　空間向量及其應(yīng)用

1．空間向量的有關(guān)概念
名稱
概念
表示
零向量
模為0的向量
0
單位向量
長度(模)為1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量為－a
共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一個平面的向量


2.空間向量中的有關(guān)定理
(1)共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理
如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.
3．空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
a，b是空間兩個非零向量，過空間任意一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夾角余弦
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝

5.空間位置關(guān)系的向量表示
(1)直線的方向向量
直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的非零向量叫做直線l的方向向量．
(2)平面的法向量
如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α，此時，我們把向量n叫做平面α的法向量．
(3)
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0

概念方法微思考
1．共線向量與共面向量相同嗎？
提示　不相同．平行于同一平面的向量就為共面向量．
2．零向量能作為基向量嗎？
提示　不能．由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故零向量不能作為基向量．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．(　√　)
(2)在向量的數(shù)量積運算中(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(　×　)
(4)若A，B，C，D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0.(　√　)
題組二　教材改編
2.如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析?。剑剑?－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3．正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF的長為________．
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的長為.


題組三　易錯自糾
4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．異面 D．相交但不垂直
答案　B
解析　由題意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，
∴＝－3，∴與共線，又AB與CD沒有公共點，∴AB∥CD.
5．O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且＝＋＋t，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝______.
答案　
解析　∵P，A，B，C四點共面，
∴＋＋t＝1，∴t＝.
6．設(shè)μ，v分別是兩個不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，當(dāng)v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關(guān)系為________；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關(guān)系為________．
答案　α⊥β　α∥β
解析　當(dāng)v＝(3，－2,2)時，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v，所以α⊥β；
當(dāng)v＝(4，－4，－10)時，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則〈b，c〉＝________，以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________．
答案　120°　60°
解析　由題意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.因為a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以兩直線的夾角為60°.
空間向量的線性運算
例1　如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：

(1)；
(2)；
(3)＋.
解　(1)∵P是C1D1的中點，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中點，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M(jìn)是AA1的中點，
∴＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋
＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
思維升華　用基向量表示指定向量的方法
(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．
(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．
(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．用，，表示，則＝________________.

答案?。?br /> 解析　∵＝＝(＋)，
∴＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
(2)如圖，在三棱錐O —ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設(shè)＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則等于(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
答案　B
解析?。剑?－)＋
＝－＋(－)＝＋－
＝(a＋b－c)．
共線定理、共面定理的應(yīng)用
例2　如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．

(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)求證：BD∥平面EFGH.
證明　(1)連結(jié)BG，

則＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)因為＝－
＝－
＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
思維升華　證明三點共線和空間四點共面的方法比較
三點(P，A，B)共線
空間四點(M，P，A，B)共面
＝λ且同過點P
＝x＋y
對空間任一點O，＝＋t
對空間任一點O，＝＋x＋y
對空間任一點O，＝x＋(1－x)
對空間任一點O，＝x＋y＋(1－x－y)

跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否與向量，共面？
(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？
解　(1)∵＝k，＝k，
∴＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(＋)＋
＝k＋＝－k
＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量與向量，共面．
(2)當(dāng)k＝0時，點M，A重合，點N，B重合，
MN在平面ABB1A1內(nèi)，
當(dāng)0

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