2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第七章7.4空間幾何體及其表面積、體積

§7.4　空間幾何體及其表面積、體積1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形含義由一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的幾何體叫做棱錐用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到兩個(gè)幾何體，一個(gè)仍然是棱錐，另一個(gè)我們稱之為棱臺(tái)側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形 2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)    3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l 4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3 概念方法微思考1．如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？提示　求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)需要將曲面展開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面積之和．2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示　求不規(guī)則幾何體的體積要注意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．題組一　思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　×　)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　×　)(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(　√　)(4)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(　×　)題組二　教材改編2．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　)A．1 cm  B．2 cm  C．3 cm  D. cm答案　B解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.3．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫所有正確的序號(hào))答案　③⑤題組三　易錯(cuò)自糾4．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　)A．12π  B.π  C．8π  D．4π答案　A解析　由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.5.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．答案　1∶47解析　設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝××a×b×c＝abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47. 6．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝AC＝2，若球心O到平面ABC的距離為1，則球O的半徑為________，球O的表面積為________．答案　　12π解析　Rt△ABC中，斜邊BC＝2，∴△ABC所在截面圓半徑r＝，又O到平面ABC的距離為1，可得球O的半徑R＝＝，故球O的表面積為12π. 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．(多選)以下命題，不正確的有(　　)A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)答案　ABD解析　由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知A，B錯(cuò)誤，C正確．對(duì)于命題D，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，D不正確．2．給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．(填序號(hào))答案　①②③解析　對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰不是側(cè)棱時(shí)不一定成立(如圖)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；對(duì)于④，可知側(cè)棱垂直于底面，故④正確．綜上，命題①②③不正確．  思維升華 空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析． 空間幾何體的表面積與體積命題點(diǎn)1　空間幾何體的表面積例1　(2018·全國(guó)Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　)A．12π   B．12πC．8π   D．10π答案　B解析　設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由x2＝8，得x＝2，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故選B.命題點(diǎn)2　求簡(jiǎn)單幾何體的體積例2　(1)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　)A．3      B.      C．1      D.答案　C解析　如題圖，因?yàn)?/span>△ABC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC.又因?yàn)?/span>BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱錐A－B1DC1的高．所以＝·AD＝××＝1.(2)母線長(zhǎng)為1的圓錐，其側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的體積為________．答案　π解析　設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝，解得r＝，從圓錐的軸截面圖中可得h＝，所以圓錐的體積 V＝πr2h＝π××＝π.思維升華　空間幾何體表面積、體積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等求解．跟蹤訓(xùn)練1　如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D－A1BC的體積是______．答案　解析　＝＝××＝. 與球有關(guān)的切、接問題例3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)A.  B．2  C.  D．3答案　C解析　如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝＝.本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解　依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3×＝6，高為＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解　正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4×·a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝.思維升華　“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決．(2)“接”的處理抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．跟蹤訓(xùn)練2　(2018·全國(guó)Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為(　　)A．12  B．18  C．24  D．54答案　B解析　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值為×9×6＝18.