空間角的求法
命題點(diǎn)1　求線線角
例1　(2019·湖北知名示范高中聯(lián)合質(zhì)檢)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為________．
答案　
解析　方法一　令M為AC的中點(diǎn)，連結(jié)MB，MA1，
由題意知△ABC是等邊三角形，所以BM⊥AC，
同理，A1M⊥AC，
因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，
因?yàn)锳1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，
所以AC，BM，A1M兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)AA1＝AC＝AB＝2，則A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，
所以＝(－3,0，)，＝(0，，－)，
所以cos〈，〉＝＝－，
故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為.
方法二　如圖，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點(diǎn)D，D1，連結(jié)BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連結(jié)DD1，BD1，則AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其補(bǔ)角為異面直線AC1與A1B所成的角．連結(jié)A1D1，過點(diǎn)A1作A1M⊥AC于點(diǎn)M，連結(jié)BM，

設(shè)AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝，A1M＝，
因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M?平面A1ACC1，
所以A1M⊥平面ABC，又BM?平面ABC，
所以A1M⊥BM，所以A1B＝，
在菱形A1ACC1中，可求得AC1＝2＝BD1，
同理，在菱形A1B1D1C1中，求得A1D1＝2，
所以cos∠A1BD1＝＝＝，
所以異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為.
思維升華　(1)求異面直線所成角的思路：
①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系．
②求出兩直線的方向向量v1，v2.
③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．
(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)：
兩異面直線所成角的范圍是θ∈，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角．
跟蹤訓(xùn)練1　(2020·邵陽模擬)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為，AB＝1，∴AA1＝，
以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，
＝(0,1，)，＝(0，－1，)，
設(shè)直線AB1與CD1所成的角為θ，
則cos θ＝＝＝，
又0°

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