第1講　集合及其運(yùn)算
基礎(chǔ)知識(shí)整合

1．集合與元素
(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號(hào)∈或?表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常見數(shù)集的記法

集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
N
N*(或N＋)
Z
Q
R

2．集合間的基本關(guān)系
　　表示
關(guān)系　　
文字語言
符號(hào)語言
相等
集合A與集合B中的所有元素相同
A?B且B?A
?A＝B
子集
A中任意一個(gè)元素均為B中的元素
A?B或B?A
真子集
A中任意一個(gè)元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
??A
?B(B≠?)

3．集合的基本運(yùn)算

并集
交集
補(bǔ)集
圖形



符號(hào)
A∪B＝
{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A且x∈B}
?UA＝
{x|x∈U且x?A}


1．若有限集A中有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.
2．A∪?＝A，A∪A＝A，A?(A∪B)，B?(A∪B)．
3．A∩?＝?，A∩A＝A，A∩B?A，A∩B?B．
4．A∩B＝A∪B?A＝B．
5．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)＝?.
6．A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U；?U(?UA)＝A．
7．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．
8．如圖所示，用集合A，B表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)部分所表示的集合分別是A ∩B，A∩(?UB)，B∩(?UA)，?U(A∪B)．

9．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．

1．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1，0,1}，則(?UA)∩B＝(　　)
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
答案　A
解析　∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴?UA＝{－1，3}．又B＝{－1,0,1}，∴(?UA)∩B＝{－1}．故選A．
2．已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，A∩(?UB)＝{3}，則B＝(　　)
A．{1,2} B．{1,2,4}
C．{2,4} D．?
答案　A
解析　結(jié)合Venn圖(如圖)可知B＝{1,2}，故選A．

3．(2019·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，集合B＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，則集合A∩B的子集個(gè)數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　因?yàn)橹本€y＝x＋1與拋物線y＝x2有2個(gè)交點(diǎn)，所以集合A∩B有2個(gè)元素，故A∩B的子集有4個(gè)，故選D．
4．(2019·遼寧丹東測試二)已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，則由實(shí)數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　若B為空集，則方程ax＝1無解，解得a＝0；若B不為空集，則a≠0，由ax＝1解得x＝，所以＝－1或＝2，解得a＝－1或a＝，則由實(shí)數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為，故選D．
5．(2020·鎮(zhèn)海中學(xué)摸底)設(shè)集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．A∩B＝{x|x≥1}
答案　D
解析　∵A＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故選D．
6．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
答案　A
解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.
當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1,0,1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1,0,1；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1,0,1，綜上，A中元素共有9個(gè)，故選A．
核心考向突破
考向一　集合的基本概念

例1　(1)(2019·遼寧沈陽模擬)已知集合A＝{y|y＝x2＋2x＋1}，B＝{x|y＝x2＋2x＋1}，則集合A與集合B的關(guān)系為(　　)
A．A＝B B．A∈B
C．B?A D．AB
答案　D
解析　集合A表示二次函數(shù)y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2中y的取值范圍，顯然y≥0，即A＝{y|y≥0}；集合B表示函數(shù)y＝x2＋2x＋1中x的取值范圍，易知x∈R，即B＝R，所以AB．故選D．
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a＋b為(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
答案　C
解析　由已知得a≠0，則＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去．因此a＝－1，故a＋b＝－1，故選C．

解決集合概念問題的一般思路
(1)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件．解本例(1)時(shí)要注意，集合A是函數(shù)值域構(gòu)成的數(shù)集，集合B是函數(shù)定義域構(gòu)成的數(shù)集．
(2)本例(2)中參數(shù)的確定，往往要對(duì)集合中的元素進(jìn)行分類討論，構(gòu)造方程組求解．同時(shí)注意對(duì)元素互異性的檢驗(yàn)．

[即時(shí)訓(xùn)練]　1.(2020·河南洛陽一中月考)設(shè)集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　若x∈B，則－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3.當(dāng)0∈B時(shí)，1－0＝1∈A；當(dāng)－1∈B時(shí)，1－(－1)＝2∈A；當(dāng)－2∈B時(shí)，1－(－2)＝3∈A；當(dāng)－3∈B時(shí)，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的個(gè)數(shù)為1，故選A．
2．設(shè)集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，則A∪B＝(　　)
A．{2,3} B．{－1,2,5}
C．{2,3,5} D．{－1,2,3,5}
答案　D
解析　由A∩B＝{2，－1}，可得或
當(dāng)時(shí)，此時(shí)B＝{2,3，－1}，所以A∪B＝{－1,2,3,5}；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不符合題意，舍去．故選D．
考向二　集合間的基本關(guān)系

例2　(1)(2019·山東日照模擬)已知集合A＝，B＝{x|≤2，x∈Z}，則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　D
解析　由≤0得0

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