第1講　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
基礎(chǔ)知識(shí)整合

1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，記作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝ .
(2)當(dāng)把上式中的x0看作變量x時(shí)，f′(x)即為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，即y′＝f′(x)＝ .
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0)，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(1)C′＝0(C為常數(shù))；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；
(5)(ax)′＝axln_a；(6)(ex)′＝ex；
(7)(logax)′＝；(8)(ln x)′＝.
4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
特別地：[C·f(x)]′＝Cf′(x)(C為常數(shù))．
(3)′＝(g(x)≠0).
5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
設(shè)函數(shù)u＝φ(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u′＝φ′(x)，函數(shù)y＝f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y′＝f′(u)，則復(fù)合函數(shù)y＝f[φ(x)]在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)y′x＝f′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．

1．f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0，其導(dǎo)數(shù)值一般也不同．
2．f′(x0)不一定為0，但[f(x0)]′一定為0.
3．可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
4．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．
5．兩類切線問題的區(qū)別
(1)“過”與“在”：曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)．
(2)“切點(diǎn)”與“公共點(diǎn)”：曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn)．

1．(2019·全國卷Ⅱ)曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
答案　C
解析　設(shè)y＝f(x)＝2sinx＋cosx，則f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲線在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故選C．
2．(2019·天津一模聯(lián)考)已知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，f′(1)＝1，則a＝(　　)
A．1 B．2
C．e D．10
答案　C
解析　∵f(x)＝logax，∴f′(x)＝，則f′(1)＝，∴＝1，解得a＝e，故選C．
3．若曲線y＝ex＋ax＋b在點(diǎn)(0,2)處的切線l與直線x＋3y＋1＝0垂直，則a＋b＝(　　)
A．3 B．－1
C．1 D．－3
答案　A
解析　因?yàn)橹本€x＋3y＋1＝0的斜率為－，所以切線l的斜率為3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲線過點(diǎn)(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.所以a＋b＝3.故選A．
4．(2019·全國卷Ⅰ)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為________.
答案　y＝3x
解析　∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切線方程為y＝3x.
5.(2019·天津十二中學(xué)聯(lián)考二)已知函數(shù)f(x)＝ex(2－ln x)，則f′(1)＝________.
答案　e
解析　∵f(x)＝ex(2－ln x)，∴f′(x)＝ex，則f′(1)＝e(2－ln 1－1)＝e.
6．(2019·鄭州模擬)直線x－2y＋m＝0與曲線y＝相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
答案　(1,1)
解析　∵y＝＝x，∴y′＝x－，令y′＝x－＝，則x＝1，則y＝＝1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．
核心考向突破
考向一　導(dǎo)數(shù)的概念

例1　利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)f(x)＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
解　∵Δy＝－1，
∴＝＝，
∴ ＝ ＝，
∴函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為.

導(dǎo)數(shù)定義探究
(1)判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)是否可導(dǎo)就是判斷該函數(shù)的平均變化率當(dāng)Δx→0時(shí)極限是否存在．
(2)利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先算函數(shù)的增量Δy，再算比值＝，再求極限y′＝ .
(3)導(dǎo)數(shù)定義中，x在x0處增量是相對(duì)的，可以是Δx，也可是2Δx，－Δx等，做題要將分子分母中增量統(tǒng)一為一種．

(4)導(dǎo)數(shù)定義 ＝f′(x0)，也即 ＝f′(x0)．

[即時(shí)訓(xùn)練]　1.設(shè)f(x)＝x3－8x，則
(1) ＝________；
(2) ＝________.
答案　(1)4　(2)－4
解析　∵f(x)＝x3－8x，∴f′(x)＝3x2－8，
∴(1) ＝f′(2)＝4.
(2)
＝－
＝－f′(2)＝－4.
考向二　導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算
例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝；(2)y＝x；
(3)y＝sinx＋sin2x.
解　(1)y′＝′＝
＝－.
(2)因?yàn)閥＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－.
(3)y′＝cosx＋(2sinxcosx)′＝cosx＋2cos2x.

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法
(1)連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)．
(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)．
(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)．
(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)．
(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)．
(6)復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．

[即時(shí)訓(xùn)練]　2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；
(3)y＝.
解　(1)因?yàn)閥＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(3)y′＝
＝＝.
精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破
考向三　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
角度　　求切線的方程

例3　(1)(2019·四川成都模擬)曲線y＝xsinx在點(diǎn)P(π，0)處的切線方程是(　　)
A．y＝－πx＋π2 B．y＝πx＋π2
C．y＝－πx－π2 D．y＝πx－π2
答案　A
解析　因?yàn)閥＝xsinx，所以y′＝sinx＋xcosx，在點(diǎn)P(π，0)處的切線斜率為k＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲線y＝xsinx在點(diǎn)P(π，0)處的切線方程是y＝－π(x－π)＝－πx＋π2.故選A．
(2)(2019·河北質(zhì)檢)已知直線y＝kx是曲線y＝ln x的切線，則k的值是(　　)
A．e B．－e
C． D．－
答案　C
解析　依題意，設(shè)直線y＝kx與曲線y＝ln x切于點(diǎn)(x0，kx0)，則有由此得ln x0＝1，x0＝e，k＝.故選C．
(3)若直線l與曲線y＝ex及y＝－x2都相切，則直線l的方程為________.
答案　y＝x＋1
解析　設(shè)直線l與曲線y＝ex的切點(diǎn)為(x0，ex0)，直線l與曲線y＝－x2的切點(diǎn)為，因?yàn)閥＝ex在點(diǎn)(x0，e x0)處的切線的斜率為y′|x＝x0＝e x0，y＝－在點(diǎn)處的切線的斜率為y′|x＝x1＝|x＝x1＝－，則直線l的方程可表示為y＝e x0x－x0ex0＋e x0或y＝－x1x＋x，所以所以e x0＝1－x0，解得x0＝0，所以直線l的方程為y＝x＋1.

求曲線的切線方程的兩種類型
(1)在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說法”：求曲線在點(diǎn)P處的切線方程和求曲線過點(diǎn)P的切線方程，在點(diǎn)P處的切線，一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線，不論點(diǎn)P在不在曲線上，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)．
(2)求過點(diǎn)P的曲線的切線方程的步驟
第一步，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；
第二步，寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程，求出x1；
第四步，將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．

角度　　求切點(diǎn)的坐標(biāo)

例4　(1)(2019·陜西模擬)設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1,1)
答案　A
解析　對(duì)y＝ex求導(dǎo)得y′＝ex，令x＝0，得曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為1，故曲線y＝(x>0)上點(diǎn)P處的切線斜率為－1，由y′＝－＝－1，得x＝1，則y＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)．故選A．
(2)(2019·衡水調(diào)研)已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為2，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　)
A．3 B．2
C．1 D．
答案　A
解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，且x0>0，由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.故選A．

求切點(diǎn)坐標(biāo)的方法
已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

角度　　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象

例5　(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是(　　)


答案　B
解析　∵f′(x)>0，∴函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)，又f′(x)在(－1,0)是增函數(shù)，在(0,1)是減函數(shù)，∴f(x)的斜率在(－1,0)越來越大，在(0,1)越來越小，故選B．
(2)已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________.

答案　0
解析　由題可知?jiǎng)tk＝－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，則g′(3)＝f(3)＋3f′(x)＝0.


導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：
(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k＝f′(x0)．
(2)若求過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可．
(3)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況．

[即時(shí)訓(xùn)練]　
3．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)


答案　D
解析　由導(dǎo)函數(shù)圖象可知兩函數(shù)的圖象在x0處切線斜率相等，故選D．
4．(2019·天津高考)曲線y＝cosx－在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________.
答案　y＝－x＋1
解析　y′＝－sinx－，將x＝0代入，
可得切線斜率為－.
所以切線方程為y－1＝－x，
即y＝－x＋1.
5．若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
答案　(e，e)
解析　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴曲線y＝xln x在點(diǎn)P處的切線斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，
∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e，e)．
考向四　求參數(shù)的值或取值范圍

例6　(1)(2019·沈陽模擬)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋b的值為(　　)
A．1 B．2
C．5 D．－1
答案　A
解析　由題意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，則k＝2.又曲線的導(dǎo)函數(shù)y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，所以b＝3，所以2a＋b＝1.故選A．
(2)(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(　　)
A．a(chǎn)＝e，b＝－1 B．a(chǎn)＝e，b＝1
C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1
答案　D
解析　y′＝aex＋ln x＋1，k＝y(tǒng)′|x＝1＝ae＋1，
∴切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又切線方程為y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故選D．
(3)(2019·成都二診)若曲線y＝f(x)＝ln x＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A． B．
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根據(jù)題意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D．


處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．

[即時(shí)訓(xùn)練]　6.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2bln x，若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝x＋2－6ln 2，則a＋b＝(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．1
答案　A
解析　由切線方程，得f(2)＝4－6ln 2，f′(2)＝1.
∵f(x)＝ax2＋2bln x，∴f′(x)＝2ax＋，
∴解得a＝1，b＝－3，
∴a＋b＝－2.故選A．
7．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m的值為(　　)
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
答案　D
解析　∵f′(x)＝，
∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切線l的方程為y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.故選D．
8．(2019·武漢一模)已知a為常數(shù)，若曲線y＝ax2＋3x－ln x上存在與直線x＋y－1＝0垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案　
解析　由題意知曲線上存在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為1，
所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，
即2ax2＋2x－1＝0有正根．
當(dāng)a≥0時(shí)，顯然滿足題意；
當(dāng)a

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