第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性
基礎(chǔ)知識(shí)整合

1．函數(shù)的奇偶性


奇函數(shù)
偶函數(shù)
定義
如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
圖象特點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
關(guān)于y軸對(duì)稱

2．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

1．函數(shù)奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．
(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)．
(6)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．周期性的三個(gè)常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
3．對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；
(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．

1．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝log3(x＋1)＋a，則f(－8)＝(　　)
A．－3－a B．3＋a
C．－2 D．2
答案　C
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝a＝0，f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2.
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案　B
解析　顯然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，即a＋b＝.
3．(2020·大連測(cè)試)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是(　　)
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
答案　C
解析　函數(shù)y＝－3|x|為偶函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)，選項(xiàng)B的函數(shù)是偶函數(shù)，但其單調(diào)性不符合，只有選項(xiàng)C符合要求．
4．若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)y＝f(x)圖象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
答案　B
解析　∵函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)．即點(diǎn)(－a，－f(a))一定在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.
答案　4
解析　f(x)＝x2＋(a－4)x－4a.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－4a＝x2＋(a－4)x－4a，a－4＝4－a，a＝4.
6．(2019·合肥質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝
則f＋f＝________.
答案　
解析　由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
核心考向突破
考向一　函數(shù)奇偶性的判斷

例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
(5)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(6)f(x)＝.
解　(1)原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．
(2)f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(3)f(x)在定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
當(dāng)x0，
∴f(x)＝，定義域?yàn)閇－1,1]．
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴該函數(shù)是奇函數(shù)．

判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法

(2)圖象法

(3)性質(zhì)法
設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．

[即時(shí)訓(xùn)練]　1.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　)
A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sinx
答案　D
解析　A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B，C選項(xiàng)為偶函數(shù)；D選項(xiàng)是非奇非偶函數(shù)，選D．
2．如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
答案　B
解析　設(shè)g(x)＝xf(x)．因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
所以g(－x)＝g(x)，所以B正確．
考向二　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例2　(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，x>0時(shí)，f(x)＝x＋1，則f(x)的解析式為________.
答案　f(x)＝
解析　當(dāng)x0，則f(－x)＝－x＋1，
又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，
∵f(x)為定義域R的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)

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