題型一　平行、垂直關(guān)系的證明
例1 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．

求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直線A1F∥平面ADE.
證明　(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC.
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC1.
又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1?平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1.
∵AD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，
∴A1F⊥B1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1.
又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1?平面BCC1B1，
∴A1F⊥平面BCC1B1.
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD.
∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴直線A1F∥平面ADE.
思維升華 (1)平行問題的轉(zhuǎn)化

利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序正好相反．在實(shí)際的解題過程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用．
(2)垂直問題的轉(zhuǎn)化

在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．
跟蹤訓(xùn)練1 (2018·北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：PE⊥BC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求證：EF∥平面PCD.
證明　(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，
所以PE⊥AD.
因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，
所以AB⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，
所以AB⊥PD.
又因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG.

因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，
所以FG∥BC，F(xiàn)G＝BC，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四邊形DEFG為平行四邊形，
所以EF∥DG.
又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
題型二　立體幾何中的計(jì)算問題
例2如圖，在多面體ABCA1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，△A1CB是等邊三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.


(1)求證：AB1∥平面A1C1C；
(2)求多面體ABCA1B1C1的體積．
(1)證明　如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，B1D，C1D，
∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，
∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1，
∴四邊形BDC1B1，CDB1C1是平行四邊形，
∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，
又B1D?平面A1C1C，C1C?平面A1C1C，
∴B1D∥平面A1C1C.

在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，
∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，
∴四邊形ADC1A1為平行四邊形，
∴AD∥A1C1.
又AD?平面A1C1C，A1C1?平面A1C1C，
∴AD∥平面A1C1C，
∵B1D∩AD＝D，B1D，AD?平面ADB1，
∴平面ADB1∥平面A1C1C，
又AB1?平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C.
(2)解　在正方形ABB1A1中，A1B＝，
∵△A1BC是等邊三角形，∴A1C＝BC＝，
∴AC2＋AA＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，
∴AA1⊥AC，AC⊥AB.
又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥CD，
易得CD⊥AD，又AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.
易知多面體ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD－A1B1C1和四棱錐C－ADC1A1組成的，
直三棱柱ABD－A1B1C1的體積為××1＝，
四棱錐C－ADC1A1的體積為××1×＝，
∴多面體ABCA1B1C1的體積為＋＝.
思維升華 (1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積．
(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解．
(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．
跟蹤訓(xùn)練2 (2019·阜新調(diào)研)如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.

(1)證明：平面PAC⊥平面PCE；
(2)若∠ABC＝60°，求三棱錐P－ACE的體積．
(1)證明　如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，
設(shè)PC的中點(diǎn)為F，連接OF，EF.

易知O為AC的中點(diǎn)，
所以O(shè)F∥PA，且OF＝PA.
因?yàn)镈E∥PA，且DE＝PA，
所以O(shè)F∥DE，且OF＝DE，
所以四邊形OFED為平行四邊形，
所以O(shè)D∥EF，即BD∥EF.
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以BD⊥AC.
因?yàn)镻A∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
因?yàn)锽D∥EF，所以EF⊥平面PAC.
因?yàn)镋F?平面PCE，
所以平面PAC⊥平面PCE.
(2)解　因?yàn)椤螦BC＝60°，
所以△ABC是等邊三角形，所以AC＝2.
又PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PA⊥AC.
所以S△PAC＝PA×AC＝2.
因?yàn)镋F⊥平面PAC，所以EF是三棱錐E－PAC的高．
易知EF＝DO＝BO＝，
所以三棱錐P－ACE的體積V三棱錐P－ACE＝V三棱錐E－PAC＝S△PAC×EF＝×2×＝.
題型三　立體幾何中的探索性問題
例3 如圖，梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2，AD＝AB＝1，四邊形BDEF為正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD.

(1)求證：DF⊥CE；
(2)若AC與BD相交于點(diǎn)O，那么在棱AE上是否存在點(diǎn)G，使得平面OBG∥平面EFC？并說明理由．
(1)證明　連接EB.∵在梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，DC＝2，
∴BD＝，BC＝，
∴BD2＋BC2＝CD2，
∴BC⊥BD.

又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面BDEF，∴BC⊥DF.
又∵正方形BDEF中，DF⊥EB，且EB，BC?平面BCE，EB∩BC＝B，
∴DF⊥平面BCE.
又∵CE?平面BCE，∴DF⊥CE.
(2)解　在棱AE上存在點(diǎn)G，使得平面OBG∥平面EFC，且＝.
理由如下：連接OG，BG，在梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝1，DC＝2，
∴AB∥DC，∴＝＝.
又∵＝，∴OG∥CE.
又∵正方形BDEF中，EF∥OB，
且OB，OG?平面EFC，EF，CE?平面EFC，
∴OB∥平面EFC，OG∥平面EFC.
又∵OB∩OG＝O，且OB，OG?平面OBG，
∴平面OBG∥平面EFC.
思維升華 對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．
跟蹤訓(xùn)練3 (2018·全國Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)．

(1)證明：平面AMD⊥平面BMC.
(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．
(1)證明　由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，
交線為CD.
因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，
又DM?平面CMD，
故BC⊥DM.
因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC，
所以DM⊥平面BMC.
又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解　當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD.

證明如下：連接AC，BD，交于點(diǎn)O.因?yàn)锳BCD為矩形，
所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
連接OP，因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，
所以MC∥OP.
又MC?平面PBD，OP?平面PBD，
所以MC∥平面PBD.


1.如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.

(1)求證：平面BCD⊥平面ABC；
(2)求證：AF∥平面BDE.
證明　(1)∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE＝AC，CD⊥AC，CD?平面ACDE，
∴DC⊥平面ABC.
又DC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面ABC.
(2)如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，則PF∥DC，PF＝DC，

∵EA∥DC，EA＝DC，
∴EA∥PF，EA＝PF，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，
∴AF∥EP，
∵AF?平面BDE，EP?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
2.如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．

(1)證明：AE∥平面BDF；
(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．
(1)證明　連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.

∵四邊形ABCD是矩形，
∴O為AC的中點(diǎn)．
又F為EC的中點(diǎn)，∴OF∥AE.
又OF?平面BDF，
AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF.
(2)解　當(dāng)點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，證明如下：

取BE的中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH.
∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，∴PH∥AB.
又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四點(diǎn)共面．
∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，
CD?平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，
∵BC＝CE，且H為BE的中點(diǎn)，
∴CH⊥BE.
又CH∩CD＝C，且CH，CD?平面DPHC，
∴BE⊥平面DPHC.
又PM?平面DPHC，∴PM⊥BE.
3．(2018·江蘇)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，
AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求證：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
證明　(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，
AB∥A1B1.
因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，
四邊形ABB1A1為平行四邊形．
又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，
因此AB1⊥A1B.
又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC.
又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
4．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D為AC上的點(diǎn)，B1C∥平面A1BD.

(1)求證：BD⊥平面A1ACC1；
(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱錐A－BCB1的體積．
(1)證明　如圖，連接ED，

∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，
∴B1C∥ED，
∵E為AB1的中點(diǎn)，
∴D為AC的中點(diǎn)，
∵AB＝BC，∴BD⊥AC，①
由A1A⊥平面ABC，BD?平面ABC，得A1A⊥BD，②
又AC∩A1A＝A，AC，A1A?平面A1ACC1，
∴BD⊥平面A1ACC1.
(2)解　由AB＝1，得BC＝BB1＝1，
由(1)知AD＝AC，
又AC·AD＝1，∴AC2＝2，
∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，
∴S△ABC＝AB·BC＝，
∴＝＝S△ABC·BB1
＝××1＝.

5．(2019·呼倫貝爾聯(lián)考)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E為AC的中點(diǎn)，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，如圖2.在圖2所示的幾何體D－ABC中：

(1)求證：BC⊥平面ACD；
(2)點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F－BCE的體積．
(1)證明　∵AC＝＝2，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，
∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos 45°＝8，
∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC，
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解　∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD，
平面ACD∩平面BEF＝EF，
∴AD∥EF，
∵E為AC的中點(diǎn)，∴EF為△ACD的中位線，
由(1)知，VF－BCE＝VB－CEF＝×S△CEF×BC，
S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，
∴VF－BCE＝××2＝.

6.如圖，在底面是菱形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，點(diǎn)E在A1D上．

(1)證明：AA1⊥平面ABCD；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，A1B∥平面EAC，并求出此時(shí)直線A1B與平面EAC之間的距離．
(1)證明　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AD＝AC＝2，
在△AA1B中，
由AA＋AB2＝A1B2，知AA1⊥AB，
同理AA1⊥AD，
又AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.

(2)解　當(dāng)＝1時(shí)，A1B∥平面EAC.
證明如下：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，

當(dāng)＝1，
即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時(shí)，
連接OE，則OE∥A1B，
又A1B?平面EAC，OE?平面EAC，
所以A1B∥平面EAC.
直線A1B與平面EAC之間的距離等于點(diǎn)A1到平面EAC的距離，
因?yàn)镋為A1D的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)A1到平面EAC的距離等于點(diǎn)D到平面EAC的距離，
VD－EAC＝VE－ACD，
設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF，
則EF∥AA1，且EF＝1，
所以EF⊥平面ACD，可求得S△ACD＝，
所以VE－ACD＝×1×＝.
又AE＝，AC＝2，CE＝2，所以S△EAC＝，
所以S△EAC·d＝(d表示點(diǎn)D到平面EAC的距離)，
解得d＝，
所以直線A1B與平面EAC之間的距離為.

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