最新考綱
考情考向分析
1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．
2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.



1．平行直線
平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行．
基本性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．
2．直線與平面平行

判定
性質(zhì)
定義
定理
圖形




條件
a∩α＝?
a?α，b?α，a∥b
a∥α
a∥α，a?β，
α∩β＝b
結(jié)論
a∥α
b∥α
a∩α＝?
a∥b



3.平面與平面平行

判定
性質(zhì)
定義
定理
圖形




條件
α∩β＝?
a?β，b?β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a?β
結(jié)論
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α

概念方法微思考
1．一條直線與一個(gè)平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？
提示　不都平行．該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面．
2．一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？
提示　平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行”，這就是面面平行的判定定理．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(　×　)
(2)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(　×　)
(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(　×　)
(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　√　)
(5)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α.(　×　)
(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(　×　)
題組二　教材改編
2．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(　　)
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，a?α，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
答案　D
解析　若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.
3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．

答案　平行
解析　連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，

在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，
所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，
而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
題組三　易錯(cuò)自糾
4．(2019·荊州模擬)對(duì)于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面α，下列命題中的真命題是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m∥α，n?α，則m∥n
C．若m∥α，n⊥α，則m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
答案　D
解析　對(duì)A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，m與n垂直而非平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．
5．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線
B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線
D．存在唯一與a平行的直線
答案　A
解析　當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線，故選A.
6．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：
①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的條件是______．(填上所有正確的序號(hào))
答案?、冖?br /> 解析　在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；
由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；
在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足．


題型一　直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點(diǎn)1　直線與平面平行的判定
例1 如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．

求證：GF∥平面ADE.
證明　方法一　如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，

又G是BE的中點(diǎn)，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中點(diǎn)，
所以DF＝CD.
由四邊形ABCD是矩形得
AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
從而四邊形HGFD是平行四邊形，
所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
方法二　如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.

又G是BE的中點(diǎn)，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因?yàn)镚F?平面GMF，
所以GF∥平面ADE.
命題點(diǎn)2　直線與平面平行的性質(zhì)
例2 (2019·東三省四市教研聯(lián)合體模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，PA＝AB＝1.

(1)證明：EF∥平面PDC；
(2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離．
(1)證明　取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，

∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，
∴MF∥CB，MF＝CB，
∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，
∴DE∥CB，DE＝CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，
∴EF∥DM，
∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解　∵EF∥平面PDC，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，
∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，則PC＝，
∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC為直角三角形，其中PD⊥CD，
∴S△PDC＝×1×＝，
連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，
設(shè)E到平面PDC的距離為h，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
則×h×＝×1×××1，
∴h＝，∴F到平面PDC的距離為.
思維升華 判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．
(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．
(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
跟蹤訓(xùn)練1 (2019·沈陽(yáng)聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點(diǎn)E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PB，PC上的點(diǎn)，且＝＝λ(λ≠0)．

(1)求證：EF∥平面PAD；
(2)當(dāng)λ＝時(shí)，求點(diǎn)D到平面AFB的距離．
(1)證明　∵＝＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC.
∵BC∥AD，∴EF∥AD.
又EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)解　∵λ＝，
∴F是PC的中點(diǎn)，
在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，
∴PC＝＝，
∴PF＝PC＝.
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，
又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝PC＝.
連接BD，DF，設(shè)點(diǎn)D到平面AFB的距離為d，

在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝，AB＝1，
∴S△ABF＝，
又S△ABD＝1，點(diǎn)F到平面ABD的距離為1，
∴由VF－ABD＝VD－AFB，得×1×1＝×d×，
解得d＝，即點(diǎn)D到平面AFB的距離為.
題型二　平面與平面平行的判定與性質(zhì)
例3 如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：

(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
證明　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，
∴GH是△A1B1C1的中位線，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1∥AB且A1B1＝AB，
∴A1G∥EB，A1G＝EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB.
又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.
證明　如圖所示，連接A1C，AC1，交于點(diǎn)M，

∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，
∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴A1B∥DM.
∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，
∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，
∴DC1∥BD1.
又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
2．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求的值．
解　連接A1B，AB1，交于點(diǎn)O，連接OD1.

由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，則＝＝1.
同理，AD1∥C1D，
又AD∥C1D1，
所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，
所以AD＝D1C1，
又AC＝A1C1，
所以＝，所以＝1，即＝1.
思維升華 證明面面平行的方法
(1)面面平行的定義．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．
跟蹤訓(xùn)練2 (2018·包頭質(zhì)檢)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點(diǎn)．

(1)求證：平面BDM∥平面EFC；
(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積．
(1)證明　如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，

則N為AC的中點(diǎn)，連接MN，
又M為棱AE的中點(diǎn)，
∴MN∥EC.
∵M(jìn)N?平面EFC，EC?平面EFC，
∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，
∴BF∥DE且BF＝DE，
∴四邊形BDEF為平行四邊形，
∴BD∥EF.
∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，
∴平面BDM∥平面EFC.
(2)解　連接EN，F(xiàn)N.

在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.
又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，
∴AC⊥平面BDEF，
又N是AC的中點(diǎn)，
∴V三棱錐A－NEF＝V三棱錐C－NEF，
∴V三棱錐A－CEF＝2V三棱錐A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝，
∴三棱錐A－CEF的體積為.
題型三　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
例4 如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．

(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．
(1)證明　∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.
(2)解　設(shè)EF＝x(0

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