最新考綱
考情考向分析
1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．
2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用、直線與平面所成角等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.



1．直線與平面垂直

圖形
條件
結(jié)論
判
定

a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意一條直線)
a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n＝O
a⊥α

a∥b，a⊥α
b⊥α
性
質(zhì)

a⊥α，b?α
a⊥b

a⊥α，b⊥α
a∥b

2.平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定
定理
如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面互相垂直


?α⊥β
性質(zhì)
定理
如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面

?l⊥α

概念方法微思考
1．若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？
提示　垂直．若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么在平面內(nèi)可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內(nèi)的那兩條直線成90°的角，即垂直于平面內(nèi)的這兩條相交直線，所以垂直于這個(gè)平面．
2．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面嗎？
提示　垂直．在兩個(gè)相交平面內(nèi)分別作與第三個(gè)平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行．由線面平行的性質(zhì)定理可知，這兩個(gè)相交平面的交線與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個(gè)平面．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　×　)
(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．(　×　)
(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(　√　)
(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(　×　)
(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(　√　)
(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(　×　)
題組二　教材改編
2．下列命題中錯(cuò)誤的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
答案　D
解析　對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的．
3．在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．
　　
(2)如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，
∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．
同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，
即O為△ABC的垂心．
題組三　易錯(cuò)自糾
4．若l，m為兩條不同的直線，α為平面，且l⊥α，則“m∥α”是“m⊥l”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；
若l⊥α且m⊥l，則m∥α或者m?α，必要性不成立，
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件，故選A.

5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是(　　)

A．與AC，MN均垂直
B．與AC垂直，與MN不垂直
C．與AC不垂直，與MN垂直
D．與AC，MN均不垂直
答案　A
解析　因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，
又因?yàn)锳C⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1B1，
因?yàn)镺M?平面BDD1B1，所以O(shè)M⊥AC.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則OM＝＝，MN＝＝，
ON＝＝，
所以O(shè)M2＋MN2＝ON2，所以O(shè)M⊥MN.故選A.
6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．MN∥AB
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN與BC所成的角為45°
D．OC⊥平面VAC
答案　B
解析　由題意得BC⊥AC，因?yàn)閂A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因?yàn)锳C∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因?yàn)锽C?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故選B.

題型一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
例1 如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1上一點(diǎn)．當(dāng)CF＝2時(shí)，證明：B1F⊥平面ADF.

證明　因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
因?yàn)锽B1⊥底面ABC，AD?底面ABC，
所以AD⊥B1B.
因?yàn)锽C∩B1B＝B，BC，B1B?平面B1BCC1，
所以AD⊥平面B1BCC1.
因?yàn)锽1F?平面B1BCC1，
所以AD⊥B1F.
方法一　在矩形B1BCC1中，
因?yàn)镃1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，
所以∠CFD＝∠C1B1F，
所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.
因?yàn)锳D∩FD＝D，AD，F(xiàn)D?平面ADF，
所以B1F⊥平面ADF.
方法二　在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，
所以B1D＝＝.
在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，
所以B1F＝＝.
在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，
所以DF＝＝.
顯然DF2＋B1F2＝B1D2，
所以∠B1FD＝90°.
所以B1F⊥FD.
因?yàn)锳D∩FD＝D，AD，F(xiàn)D?平面ADF，
所以B1F⊥平面ADF.
思維升華 證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)．
跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
證明　(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，
則AB∥EF.
又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC.
題型二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
例2 (2018·全國(guó)Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.

(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q－ABP的體積．
(1)證明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解　由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC，垂足為E，

則QE∥DC且QE＝DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱錐Q－ABP的體積為
VQ－ABP＝×S△ABP×QE
＝××3×2sin 45°×1＝1.
思維升華 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．

跟蹤訓(xùn)練2 (2018·錦州調(diào)研)如圖，三棱錐P－ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若PA＝PC，求三棱錐P－ABC的體積．
證明　(1)如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO，

因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以BO⊥AC，BO＝.
因?yàn)镻A⊥PC，所以PO＝AC＝1.
因?yàn)镻B＝2，所以O(shè)P2＋OB2＝PB2，
所以PO⊥OB.
因?yàn)锳C∩OP＝O，AC，OP?平面PAC，
所以BO⊥平面PAC.
又OB?平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解　因?yàn)镻A＝PC，PA⊥PC，AC＝2，
所以PA＝PC＝.
由(1)知BO⊥平面PAC，
所以VP－ABC＝VB－APC＝S△PAC·BO＝××××＝.
題型三　垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

命題點(diǎn)1　直線與平面所成的角
例3 如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)．
(1)證明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為 時(shí)，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

(1)證明　∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)．
∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC是直角三角形．
(2)解　如圖，過(guò)A作AH⊥PC于H，

∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角，
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA即是PC與平面ABC所成的角，
∵tan∠PCA＝＝，
又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC中，AH＝＝，
∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
即直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.
命題點(diǎn)2　與垂直有關(guān)的探索性問(wèn)題
例4 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.

(1)求證：C1E∥平面ADF；
(2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM⊥平面ADF.
(1)證明　連接CE交AD于O，連接OF.

因?yàn)镃E，AD為△ABC的中線，
則O為△ABC的重心，
故＝＝，故OF∥C1E，
因?yàn)镺F?平面ADF，C1E?平面ADF，
所以C1E∥平面ADF.
(2)解　當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF.
證明如下：因?yàn)锳B＝AC，AD?平面ABC，
故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，
故平面B1BCC1⊥平面ABC.
又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面B1BCC1，
又CM?平面B1BCC1，
故AD⊥CM.
又BM＝1，BC＝2，CD＝1，F(xiàn)C＝2，
故Rt△CBM≌Rt△FCD.
易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD?平面ADF，
故CM⊥平面ADF.
又CM?平面CAM，
故平面CAM⊥平面ADF.
思維升華 對(duì)命題條件的探索的三種途徑
途徑一：先猜后證．
途徑二：先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．
途徑三：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．
跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.

(1)求證：平面CFG⊥平面ACE；
(2)在AC上是否存在一點(diǎn)H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(1)證明　連接BD交AC于點(diǎn)O，則BD⊥AC.
設(shè)AB，AD的中點(diǎn)分別為M，N，連接MN，則MN∥BD，
連接FM，GN，則FM∥GN，且FM＝GN，
所以四邊形FMNG為平行四邊形，

所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE，
又因?yàn)锳C∩AE＝A，AC，AE?平面ACE，
所以FG⊥平面ACE.
又FG?平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
(2)解　存在．設(shè)平面ACE交FG于Q，
則Q為FG的中點(diǎn)，
連接EQ，CQ，取CO的中點(diǎn)H，連接EH，
由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，
又平面ACE∩平面EFG＝EQ，
平面ACE∩平面ABCD＝AC，
所以CH∥EQ，
又CH＝EQ＝，
所以四邊形EQCH為平行四邊形，所以EH∥CQ，
又CQ?平面CFG，EH?平面CFG，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一點(diǎn)H，使得EH∥平面CFG，
且CH＝.


1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　)
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
答案　C
解析　因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.
2．(2019·通遼模擬)已知直線l，m與平面α，β，l?α，m?β，則下列命題中正確的是(　　)
A．若l∥m，則必有α∥β
B．若l⊥m，則必有α⊥β
C．若l⊥β，則必有α⊥β
D．若α⊥β，則必有m⊥α
答案　C
解析　對(duì)于選項(xiàng)A，平面α和平面β還有可能相交，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，平面α和平面β還有可能相交或平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閘?α，l⊥β，所以α⊥β.所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，直線m可能和平面α不垂直，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案　C
解析　因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
4．(2019·大連適應(yīng)性檢測(cè))在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則(　　)
A．MN∥C1D1 B．MN⊥BC1
C．MN⊥平面ACD1 D．MN⊥平面ACC1
答案　D
解析　對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)镸，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N∈平面CDD1C1，點(diǎn)M?平面CDD1C1，所以直線MN是與平面CDD1C1相交的直線，
又因?yàn)橹本€C1D1在平面CDD1C1內(nèi)，故直線MN與直線C1D1不可能平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中易知NB≠NC1，因?yàn)辄c(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)，所以直線MN 與直線BC1不垂直，故選項(xiàng)B不對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)MN⊥平面ACD1，可得MN⊥CD1，因?yàn)镹是CD1的中點(diǎn)，
所以MC＝MD1，這與MC≠M(fèi)D1矛盾，故假設(shè)不成立，所以選項(xiàng)C不對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)D，分別取B1C1，C1D1的中點(diǎn)P，Q，連接PM，QN，PQ.
因?yàn)辄c(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)，
所以PM∥CC1且PM＝CC1.
同理QN∥CC1且QN＝CC1.
所以PM∥QN且PM＝QN，
所以四邊形PQNM為平行四邊形．
所以PQ∥MN.
在正方體中，CC1⊥PQ，PQ⊥AC，
因?yàn)锳C∩CC1＝C，AC?平面ACC1，CC1?平面ACC1，
所以PQ⊥平面ACC1.
因?yàn)镻Q∥MN，所以MN⊥平面ACC1.
故選項(xiàng)D正確．
5．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，
則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．
因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，
所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.

三棱柱的體積為
×()2AA1＝，
解得AA1＝，
即OP＝AA1＝，
所以tan∠PAO＝＝，
因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是，
所以∠PAO＝.
6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．

答案　4
解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
7.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線______上．

答案　AB
解析　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．
8.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_______時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)

答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，連接AC，則BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_(kāi)_______．

答案　
解析　連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角．

因?yàn)锳B＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，
又AA1＝1，所以AC1＝3，
所以sin∠AC1A1＝＝.
10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上．點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_(kāi)_______．

答案　
解析　點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值．當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C＝＝.
11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P，C)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.

(1)求證：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.
證明　(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，
所以AB∥CD.
又AB?平面PDC，CD?平面PDC，
所以AB∥平面PDC，
又因?yàn)锳B?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.
(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，
所以AB⊥AD.
因?yàn)锳F⊥EF，(1)中已證AB∥EF，
所以AB⊥AF.
又AB⊥AD，
由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C)，所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB?平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點(diǎn)M是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PN＝PB.

(1)證明：MN∥平面PDC；
(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值．
(1)證明　因?yàn)锳B＝BC，AD＝CD，
所以BD垂直平分線段AC.
又∠ADC＝120°，
所以MD＝AD＝，AM＝.
所以AC＝.
又AB＝BC＝，
所以△ABC是等邊三角形，
所以BM＝，所以＝3，
又因?yàn)镻N＝PB，
所以＝＝3，
所以MN∥PD.
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
(2)解　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥PA，
又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
由(1)知MN∥PD，
所以直線MN與平面PAC所成的角即直線PD與平面PAC所成的角，
故∠DPM即為所求的角．
在Rt△PAD中，PD＝2，
所以sin∠DPM＝＝＝，
所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為.


13．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H.那么，在這個(gè)空間圖形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
答案　B
解析　根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，
∴AH⊥平面EFH，B正確；
∵過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH?平面HAG，
∴EF⊥平面HAG，
又EF?平面AEF，
∴平面HAG⊥平面AEF，過(guò)點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；
由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．故選B.
14．(2018·全國(guó)Ⅰ)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為(　　)
A．8 B．6 C．8 D．8
答案　C
解析　如圖，連接AC1，BC1，AC.

∵AB⊥平面BB1C1C，
∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，
∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，
AC1＝＝4，
在Rt△ACC1中，CC1＝＝
＝2，
∴V長(zhǎng)方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8.
故選C.

15.如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點(diǎn)，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，則下列說(shuō)法正確的是________．(寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào))

①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；
②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；
③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；
④在折起過(guò)程中，一定不會(huì)有EC⊥AD.
答案?、佗?br /> 解析　由已知，在未折疊的原梯形中，
易知四邊形ABCE為矩形，
所以AB＝EC，所以AB＝DE，
又AB∥DE，
所以四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE＝AD，折疊后如圖所示．

①過(guò)點(diǎn)M作MP∥DE，交AE于點(diǎn)P，連接NP.
因?yàn)镸，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，故NP∥EC.
又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，
所以平面MNP∥平面DEC，
故MN∥平面DEC，①正確；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，
所以AE⊥MP，AE⊥NP，
又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，
又MN?平面MNP，所以MN⊥AE，②正確；
③假設(shè)MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA，
從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，
與BE和AD是異面直線矛盾，③錯(cuò)誤；
④當(dāng)EC⊥ED時(shí)，EC⊥AD.
因?yàn)镋C⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，
所以EC⊥平面AED，AD?平面AED，
所以EC⊥AD，④不正確．
16.在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M為BC的中點(diǎn)．

(1)求證：FM∥平面BDE；
(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求點(diǎn)F到平面BDE的距離．
(1)證明　取BD的中點(diǎn)O，連接OM，OE，

因?yàn)镺，M分別為BD，BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M∥CD，且OM＝CD.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以CD∥AB，
又EF∥AB，所以CD∥EF，
又AB＝CD＝2EF，
所以EF＝CD，
所以O(shè)M∥EF，且OM＝EF，
所以四邊形OMFE為平行四邊形，
所以MF∥OE.
又OE?平面BDE，MF?平面BDE，
所以MF∥平面BDE.
(2)解　由(1)得FM∥平面BDE，
所以點(diǎn)F到平面BDE的距離等于點(diǎn)M到平面BDE的距離．
取AD的中點(diǎn)H，連接EH，BH，

因?yàn)镋A＝ED，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，
所以EH⊥AD，BH⊥AD.
因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH?平面ADE，
所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH，
易得EH＝BH＝，所以BE＝，
所以S△BDE＝××＝.
設(shè)點(diǎn)F到平面BDE的距離為h，
連接DM，則S△BDM＝S△BCD＝××4＝，
連接EM，由V三棱錐E－BDM＝V三棱錐M－BDE，
得××＝×h×，
解得h＝，
即點(diǎn)F到平面BDE的距離為.

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