2020版高考數(shù)學(xué)（理）新增分大一輪人教通用版講義：第五章　平面向量與復(fù)數(shù)5.5-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

最新考綱
考情考向分析
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.
主要考查復(fù)數(shù)的基本概念(復(fù)數(shù)的實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等)，復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，重點考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，突出考查運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想.一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度為低檔.

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).
(2)分類：

滿足條件(a，b為實數(shù))
復(fù)數(shù)的分類
a＋bi為實數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0

(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.
3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即＝＋，＝－.

概念方法微思考
1.復(fù)數(shù)a＋bi的實部為a，虛部為b嗎？
提示　不一定.只有當(dāng)a，b∈R時，a才是實部，b才是虛部.
2.如何理解復(fù)數(shù)的加法、減法的幾何意義？
提示　復(fù)數(shù)的加法、減法的幾何意義就是向量加法、減法的平行四邊形法則.

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.(　×　)
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　×　)
(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(　×　)
(4)原點是實軸與虛軸的交點.(　√　)
(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(　√　)
題組二　教材改編
2.設(shè)z＝＋2i，則|z|等于(　　)
A.0 B. C.1 D.
答案　C
解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.故選C.
3.在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A.1－2i B.－1＋2i C.3＋4i D.－3－4i
答案　D
解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4.若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.－1或1
答案　A
解析　∵z為純虛數(shù)，∴∴x＝－1.
題組三　易錯自糾
5.設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋為純虛數(shù)”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
答案　C
解析　∵復(fù)數(shù)a＋＝a－bi為純虛數(shù)，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋為純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選C.
6.(2019·葫蘆島模擬)若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2－2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由題意，∵z＝＝＝－2－2i，
∴＝－2＋2i，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限.故選B.
7.i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________.
答案?。璱
解析　原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.

題型一　復(fù)數(shù)的概念
1.若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝1－i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(　　)
A. B.－ C.i D.－i
答案　B
解析　因為(1＋2i)z＝1－i，
所以z＝＝＝，
因此復(fù)數(shù)z的虛部為－，故選B.
2.(2019·大連質(zhì)檢)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(　　)
A.－＋i B.－－i C.－i D.＋i
答案　D
解析　由復(fù)數(shù)＝＝＝－i，
所以共軛復(fù)數(shù)為＋i，故選D.
3.(2018·撫順模擬)已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則實數(shù)a等于(　　)
A.－4 B.4 C.1 D.－1
答案　C
解析?。剑?，
∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，
∴2a－2＝0且a＋4≠0，
解得a＝1.故選C.
思維升華復(fù)數(shù)的基本概念有實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等，在解題中要注意辨析概念的不同，靈活使用條件得出符合要求的解.

題型二　復(fù)數(shù)的運(yùn)算

命題點1　復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
例1　(1)(2018·全國Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)
A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i
答案　D
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i等于(　　)
A.3－2i B.3＋2i C.－3－2i D.－3＋2i
答案　D
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D.
命題點2　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
例2　(1)(2018·全國Ⅱ)等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　＝＝
＝＝－＋i.
故選D.
(2)(2019·通遼診斷)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz＝2z＋1，則z等于(　　)
A.－－i B.＋i C.2＋i D.2－i
答案　A
解析　由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，
解得z＝＝，
即z＝－－i，故選A.
命題點3　復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算
例3 (1)(2019·盤錦模擬)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為，則等于(　　)
A. B.3＋4i C.5 D.7
答案　C
解析　z＝＝＝3＋4i，
故＝3－4i?||＝5，故選C.
(2)(2018·烏海模擬)對于兩個復(fù)數(shù)α＝1－i，β＝1＋i，有下列四個結(jié)論：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；
④α2＋β2＝0，其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　對于兩個復(fù)數(shù)α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正確；
②＝＝＝＝－i，故②正確；
③＝＝1，故③正確；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正確.故選C.
思維升華 (1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項式的四則運(yùn)算.
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z＝＋ai，z·＝4，則a為(　　)
A.1或－1 B.1
C.－1 D.不存在的實數(shù)
答案　A
解析　由題意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4?a＝±1，故選A.
(2)(2019·鐵嶺質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)a＋bi＝(i是虛數(shù)單位，a，b∈R)，則a＋b等于(　　)
A.－2 B.－1 C.0 D.2
答案　A
解析　由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得
＝＝＝＝－1－i，
結(jié)合題意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，
據(jù)此可得a＋b＝－2.故選A.
題型三　復(fù)數(shù)的幾何意義
例4　(1)(2018·赤峰質(zhì)檢)復(fù)數(shù)z滿足(2＋i)z＝，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　∵(2＋i)z＝＝＝5，
∴(2＋i)z＝5，
5z＝5，z＝2－i，
z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2，－1)，在第四象限，故選D.
(2)如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：

①，所表示的復(fù)數(shù)；
②對角線所表示的復(fù)數(shù)；
③B點對應(yīng)的復(fù)數(shù).
解?、佟撸剑嗨硎镜膹?fù)數(shù)為－3－2i.
∵＝，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.
②∵＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋＝＋，
∴所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.
思維升華復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2018·阜新模擬)已知復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在(　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
答案　A
解析　∵z＝＝＝＋i，
∴＝－i，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限.故選A.
(2)已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點分別為A，B，C，O為坐標(biāo)原點，若＝x＋y，則x＋y的值是________.
答案　5
解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
∴解得故x＋y＝5.

1.已知復(fù)數(shù)z1＝6－8i，z2＝－i，則等于(　　)
A.－8－6i B.－8＋6i C.8＋6i D.8－6i
答案　C
解析　∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴＝＝＝8＋6i.
2.(2019·包頭質(zhì)檢)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|等于(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　C
解析　由題意可得z＝，
則|z|＝＝＝＝1.故選C.
3.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　＝＝＝1－i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1，－1)，所以在第四象限，故選D.
4.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足＝1＋i，那么|z|等于(　　)
A.1 B. C. D.5
答案　C
解析　∵＝1＋i，z＋i＝(1＋i)，iz＝(2＋i)i，
∴z＝2＋i，∴|z|＝＝，故選C.
5.已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若為純虛數(shù)，則a等于(　　)
A. B.－ C.2 D.－2
答案　B
解析　由題意知＝
＝＝＋i，
又由為純虛數(shù)，
所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－，故選B.
6.若復(fù)數(shù)z滿足z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　由題意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i，故選D.
7.已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝12＋16i，則z的模為(　　)
A.20 B.12 C.2 D.2
答案　C
解析　設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，
則由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
則解得或
即|z|＝＝＝2.故選C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數(shù)m的值為________.
答案　3或6
解析　∵M(jìn)∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3，經(jīng)檢驗符合題意.
9.(2018·江蘇)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為________.
答案　2
解析　由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，
∴z的實部為2.
10.(2018·天津)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝________.
答案　4－i
解析?。剑剑?－i.
11.已知復(fù)數(shù)z滿足z＋＝0，則|z|＝________.
答案　
解析　由復(fù)數(shù)z滿足z＋＝0，則z2＝－3，
所以z＝±i，所以|z|＝.
12.若復(fù)數(shù)z＝1－i，則z＋的虛部是________.
答案　－
解析　z＋＝1－i＋＝1－i＋＝－i，故虛部為－.
13.(2018·營口質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝i3，則|z|＝________.
答案　
解析　由題意知z＝＝＝
＝－i，
則|z|＝＝.
14.(2019·烏海調(diào)研)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z(1＋i)＝2－3i，則z的虛部為________.
答案?。?br /> 解析　由z(1＋i)＝2－3i，
得z＝＝＝＝－－i，
則z的虛部為－.
15.已知復(fù)數(shù)z＝bi(b∈R)，是實數(shù)，i是虛數(shù)單位.
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若復(fù)數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍.
解　(1)因為z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因為是實數(shù)，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因為z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因為復(fù)數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，
所以解得m