最新考綱
考情考向分析
1.了解平面向量基本定理及其意義．
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
主要考查平面向量基本定理、向量加法、減法、數(shù)乘向量的坐標運算及向量共線的坐標表示，考查向量線性運算的綜合應用，考查學生的運算推理能力、數(shù)形結合能力，常與三角函數(shù)綜合交匯考查，突出向量的工具性．一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾有與三角函數(shù)綜合在一起考查的解答題，屬于中檔題.



1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.



概念方法微思考
1．若兩個向量存在夾角，則向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？為什么？
提示　不一樣．因為向量有方向，而直線不考慮方向．當向量的夾角為直角或銳角時，與直線的夾角相同．當向量的夾角為鈍角或平角時，與直線的夾角不一樣．
2．平面內的任一向量可以用任意兩個非零向量表示嗎？
提示　不一定．當兩個向量共線時，這兩個向量就不能表示，即兩向量只有不共線時，才能作為一組基底表示平面內的任一向量．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．(　×　)
(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為60°.(　×　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　×　)
(5) 平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(　√　)
(6) 當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．(　√　)
題組二　教材改編
2．已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為________．
答案　(1,5)
解析　設D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝________.
答案?。?br /> 解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb與a－2b共線，
得＝，所以＝－.


題組三　易錯自糾
4．設e1，e2是平面內一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________.
答案　0
5．已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝________.
答案　(－7，－4)
解析　根據(jù)題意得＝(3,1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.
答案?。?
解析　因為a∥b，
所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

題型一　平面向量基本定理的應用
例1 如圖，已知△OCB中，A是CB的中點，D是將分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于點E，設＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求實數(shù)λ的值．
解　(1)由題意知，A是BC的中點，
且＝，由平行四邊形法則，
得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由題意知，∥，故設＝x.
因為＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因為a與b不共線，由平面向量基本定理，
得解得
故λ＝.
思維升華 應用平面向量基本定理的注意事項
(1)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來．
(2)強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等．
(3)強化平行向量基本定理的應用．
跟蹤訓練1 在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又＝t，則t的值為________．
答案　
解析　∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－，
∴2＝，
即P為AB的一個三等分點，如圖所示．

∵A，M，Q三點共線，
∴＝x＋(1－x)
＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋.
又＝－＝－＋，
由已知＝t，
可得＋＝t，
又，不共線，∴解得t＝.
題型二　平面向量的坐標運算
例2 (1)已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點N的坐標為(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
答案　A
解析　設N(x，y)，則(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
∴x＝2，y＝0.
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，則m＋n＝________.
答案?。?
解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
∴m＋n＝－2.
思維升華 平面向量坐標運算的技巧
(1)利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
(2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標相同”這一結論，由此可列方程(組)進行求解．
跟蹤訓練2 線段AB的端點為A(x,5)，B(－2，y)，直線AB上的點C(1,1)，使||＝2||，則x＋y＝________.
答案?。?或6
解析　由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y)．
由||＝2||，可得＝±2，
則當＝2時，有
解得此時x＋y＝－2；
當＝－2時，有
解得此時x＋y＝6.
綜上可知，x＋y＝－2或6.

題型三　向量共線的坐標表示

命題點1　利用向量共線求向量或點的坐標
例3 已知O為坐標原點，點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三點共線，
可設＝λ＝(4λ，4λ)，
則＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以點P的坐標為(3,3)．
方法二　設點P(x，y)，則＝(x，y)，
因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，
即x＝y(tǒng).
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，
所以點P的坐標為(3,3)．




命題點2　利用向量共線求參數(shù)
例4 (2018·烏海模擬)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，則實數(shù)k的值為(　　)
A．－ B. C．2 D.
答案　B
解析　因為a＝(2，－1)，b＝(1,1)，
所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，
又c＝(－5,1)，
由(a＋kb)∥c
得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故選B.
思維升華 平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．
跟蹤訓練3 (1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，則m的值是(　　)
A．－4 B．1 C．0 D．－2
答案　A
解析　a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，
得2(m－4)＝4m，m＝－4，故選A.
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值是________．
答案?。?br /> 解析?。剑?4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三點共線，∴，共線，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.






1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，則P點的坐標為(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
答案　B
解析　設P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)．
而＝(－8,1)＝，
∴解得
∴P.故選B.
2．若向量＝＝(2,0)，＝(1,1)，則＋等于(　　)
A．(3,1) B．(4,2) C．(5,3) D．(4,3)
答案　B
解析?。剑?3,1)，
又＝－＝(－1,1)，
則＝＋＝(1,1)，
所以＋＝(4,2)．故選B.
3．(2018·赤峰質檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，則|a＋b|等于(　　)
A. B. C. D．5
答案　B
解析　根據(jù)題意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，
所以a＋b＝(－1，－2)，
從而可求得|a＋b|＝＝，故選B.
4．已知平面直角坐標系內的兩個向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面內的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實數(shù))，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由題意知向量a，b不共線，
故2m≠3m－2，即m≠2.
5．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內第一象限內一點，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A．2 B. C．2 D．4
答案　A
解析　因為|OC|＝2，∠AOC＝，
所以C(，)，
又＝λ＋μ，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
6．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b＝________.
答案　(－3,4)
解析　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，
得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，
∴b＝(－6,8)＝(－3,4)．
7．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________．
答案?。?br /> 解析?。?a－1,3)，＝(－3,4)，
根據(jù)題意知∥，
∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
8．設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________．
答案　(－4，－2)
解析　∵b＝(2,1)，且a與b的方向相反，
∴設a＝(2λ，λ)(λ

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