最新考綱
考情考向分析
1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．
2.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題.
主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問(wèn)題，求參數(shù)范圍、最值等問(wèn)題是考查的熱點(diǎn)，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會(huì)出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題.



1．向量在平面幾何中的應(yīng)用
(1)用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧：
問(wèn)題類型
所用知識(shí)
公式表示
線平行、點(diǎn)共線等問(wèn)題
平行向量基本定理
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直問(wèn)題
數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量
夾角問(wèn)題
數(shù)量積的定義
cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量
長(zhǎng)度問(wèn)題
數(shù)量積的定義
|a|＝＝，
其中a＝(x，y)，a為非零向量

(2)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟
平面幾何問(wèn)題向量問(wèn)題解決向量問(wèn)題解決幾何問(wèn)題．
2．向量在解析幾何中的應(yīng)用
向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．
3．向量與相關(guān)知識(shí)的交匯
平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過(guò)向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問(wèn)題．
概念方法微思考
1．根據(jù)你對(duì)向量知識(shí)的理解，你認(rèn)為可以利用向量方法解決哪些幾何問(wèn)題？
提示　(1)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題．(2)直線或線段平行問(wèn)題．(3)直線或線段垂直問(wèn)題．(4)角的問(wèn)題等．
2．如何用向量解決平面幾何問(wèn)題？
提示　用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題然后通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題，最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線．(　√　)
(2)在△ABC中，若·0，n>0，
則由·＝2·，
得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化簡(jiǎn)得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)2＋2＋2取得最小值時(shí)，·＝________.
答案?。?
解析　∵·＝2，
∴·－2＝·(－)
＝·＝0，
∴⊥，即BA⊥AC.
以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則B(6,0)，C(0,3)，設(shè)P(x，y)，
∴2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2
＝3x2－12x＋3y2－6y＋45
＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]．
∴當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，2＋2＋2有最小值，此時(shí)·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.
思維升華 向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法
(1)坐標(biāo)法
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示．
(2)基向量法
適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知△ABC外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝2，A為鈍角，M是BC邊的中點(diǎn)，則·等于(　　)

A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　∵M(jìn) 是BC邊的中點(diǎn)，
∴＝(＋)，
∵O 是△ABC 的外接圓的圓心，
∴·＝||·||cos∠BAO
＝||2＝×(2)2＝6.
同理可得·＝||2＝×(2)2＝4.
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝×(6＋4)＝5.
(2)(2018·烏海模擬)在△ABC中，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，則·＋·的最小值為(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．－1
答案　C
解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)D在原點(diǎn)處，點(diǎn)A在y軸上，則A(0,2)．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
則＝，＝(－x，－y)，
故·＋·＝·
＝2·＝2
＝2－2≥－2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)等號(hào)成立．
所以·＋·的最小值為－2.
題型二　向量在解析幾何中的應(yīng)用
例2 (1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足||＝1，＝，則||2的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如圖，由||＝1知點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，以1為半徑的圓．

由＝知，
點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，
取AC的中點(diǎn)N，連接MN，
則|MN|＝|AP|＝，
所以點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，以為半徑的圓．
因?yàn)閨|＝3，
所以||的最大值為3＋＝，||2的最大值為.故選B.
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
答案　[－5，1]
解析　方法一　因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，
所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，±)(－5≤x≤5)．
因?yàn)锳(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)
或＝(－12－x，)，
＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．因?yàn)椤ぁ?0，先取P(x，)進(jìn)行計(jì)算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，
即2x＋5≤.
當(dāng)2x＋5

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