第14講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性


函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)到
單調(diào)性
單調(diào)遞增
在區(qū)間(a,b)上,若f'(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)　　　?
單調(diào)遞減
在區(qū)間(a,b)上,若f'(x)0時(shí),函數(shù)f(x)為增函數(shù);f'(x)0,所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)=x-ln x>1>0,所以x>ln x.
3.(-∞,0)　[解析] ∵y'=3ax2,函數(shù)在區(qū)間(-∞,+∞)上是減函數(shù),
∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax2≤0恒成立,
∴a≤0.∵當(dāng)a=0時(shí),y=-1,不是減函數(shù),
∴a0,所以函數(shù)f(x)=ln x-在(0,+∞)上為增函數(shù),所以只需滿足1-x>2x-1>0,解得1,解得x0　a=0　a0;當(dāng)xx2.
則當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)ln(-2m)-10.
故f(x)在區(qū)間(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(ln(-2m)-1,0)上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)m≥0時(shí),f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)-3×12+2×1+a=5+a.
因?yàn)閍≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
所以g(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),
可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù).
例2　[思路點(diǎn)撥] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用點(diǎn)斜式可得曲線的切線方程.(2)在定義域內(nèi),令f'(x)>0,求得x的取值范圍,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;令f'(x)0,得x>;由g'(x)0可得單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0,1)上大于等于零恒成立問(wèn)題求解即可.
解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)a=3時(shí),f(x)=x2+ln x-3x,
∴f'(x)=2x+-3=,
由f'(x)>0,得00,
∴當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0,
即函數(shù)f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).
∵10,f(x)為增函數(shù);若x∈(ln a,a-1),則f'(x)0,當(dāng)x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)

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