2020版高考數(shù)學(xué)（理）精優(yōu)大一輪復(fù)習(xí)人教A通用版講義：第15講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值

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第15講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值


1.函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值:
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)　　　　,右側(cè)　　　　,則點(diǎn)a叫作函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫作函數(shù)y=f(x)的極小值.?
(2)函數(shù)的極大值:
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)　　　　,右側(cè)　　　　,則點(diǎn)b叫作函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫作函數(shù)y=f(x)的極大值.?
極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.
2.函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.
(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則　　　　為函數(shù)的最小值,　　　　為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則　　　　為函數(shù)的最大值,　　　　為函數(shù)的最小值.?
3.實(shí)際應(yīng)用題
理解題意、建立函數(shù)模型,使用導(dǎo)數(shù)方法求解函數(shù)模型,根據(jù)求解結(jié)果回答實(shí)際問題.

常用結(jié)論
導(dǎo)數(shù)研究不等式的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值,各類不等式與函數(shù)最值關(guān)系如下:
不等式類型
與最值的關(guān)系
?x∈D,f(x)>M
?x∈D,f(x)min>M
?x∈D,f(x)M
?x0∈D,f(x0)0
?x∈D,f(x)g(x2)max

(續(xù)表)
不等式類型
與最值的關(guān)系
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)min
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)max
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)min
(注:上述的大于、小于分別改為不小于、不大于,相應(yīng)的與最值關(guān)系對(duì)應(yīng)的不等號(hào)也改變)


題組一　常識(shí)題
1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的極小值為　　　　.?
2.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間[-3,3]上的最大值是　　　　.?
3.[教材改編] 當(dāng)x>0時(shí),ln x,x,ex的大小關(guān)系是　　　　　　.?
4.[教材改編] 現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,該方盒容積的最大值是　　　　.?
題組二　常錯(cuò)題
◆索引:利用極值求參數(shù)時(shí)忽略對(duì)所求參數(shù)的檢驗(yàn);混淆極值與極值點(diǎn)的概念;連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上不一定存在最值;不等式問題中的易錯(cuò)點(diǎn).
5.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則a+b=　　　　.?
6.函數(shù)g(x)=-x2的極值點(diǎn)是　　　　,函數(shù)f(x)=(x-1)3的極值點(diǎn)　　　　(填“存在”或“不存在”).?
7.函數(shù)g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分別是　　　　,在(1,2)上的最小值和最大值均　　　　(填“存在”或“不存在”).?
8.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式sin x≤a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　;存在實(shí)數(shù)x0,使不等式sin x0≤a成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.?


探究點(diǎn)一　利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

微點(diǎn)1　由圖像判斷函數(shù)極值
例1 [2018·杭州二中模擬] 如圖2-15-1所示,可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線為l:y=g(x).設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則下列說(shuō)法正確的是 (　　)

圖2-15-1
A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點(diǎn)
B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點(diǎn)
C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的極值點(diǎn)
D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的極值點(diǎn)
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[總結(jié)反思] 可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零,是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).
微點(diǎn)2　已知函數(shù)求極值
例2 若x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點(diǎn),則(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)有極大值-1
B.f(x)有極小值-1
C.f(x)有極大值0
D.f(x)有極小值0
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[總結(jié)反思] 求函數(shù)極值的一般步驟:①先求函數(shù)f(x)的定義域,再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù);②求f'(x)=0的根;③判斷在f'(x)=0的根的左、右兩側(cè)f'(x)的符號(hào),確定極值點(diǎn);④求出具體極值.
微點(diǎn)3　已知極值求參數(shù)
例3 [2018·江西九校二聯(lián)] 若函數(shù)f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.∪

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[總結(jié)反思] 根據(jù)極值求參數(shù)的值(或取值范圍)就是根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零、極值點(diǎn)處的函數(shù)值即極值列出關(guān)于參數(shù)的方程組(或不等式組),通過(guò)解方程組(或不等式組)求得參數(shù)的值(或取值范圍).
應(yīng)用演練
1.【微點(diǎn)1】[2018·河南中原名校質(zhì)檢] 已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖像如圖2-15-2所示,則下列敘述正確的是 (　　)
①f(b)>f(a)>f(c);

圖2-15-2
②函數(shù)f(x)在x=c處取得極小值,在x=e處取得極大值;
③函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值.
A.③
B.①②
C.①③
D.②
2.【微點(diǎn)3】函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在極值點(diǎn),則a的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
3.【微點(diǎn)2】[2018·安慶二模] 已知函數(shù)f(x)=2ef'(e)ln x-(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)的極大值為(　　)
A.2e-1 B.-
C.1 D.2ln 2
4.【微點(diǎn)3】[2018·菏澤模擬] 已知函數(shù)f(x)=x3-ax+2的極大值為4,若函數(shù)g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的極小值不大于m-1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.(-∞,-9)
探究點(diǎn)二　利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題
例4 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.
(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax2+1,在其定義域上g(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值;
(2)若a>0時(shí),f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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[總結(jié)反思] (1)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值在端點(diǎn)處或區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得,上述值中最大的即為最大值、最小的即為最小值.如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上(不論區(qū)間的類型)有唯一的極值點(diǎn),則該點(diǎn)也是最值點(diǎn).
(2)注意把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
變式題 (1)已知a≥+ln x對(duì)任意x∈恒成立,則a的最小值為 (　　)
A.1 B.e-2 C. D.0
(2)[2018·唐山三模] 已知a>0,f(x)=,若f(x)的最小值為-1,則a= (　　)
A. B. C.e D.e2
探究點(diǎn)三　利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題
例5 [2018·南京四校聯(lián)考] 如圖2-15-3所示,某大型水上樂園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC為直徑的半圓O1和半圓O2(半圓在矩形ABCD內(nèi)部)為兩個(gè)半圓形水上主題樂園,BC,CD,DA都建有圍墻,游客只能從線段AB處進(jìn)出該主題樂園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益,水上樂園管理部門決定沿著,修建不銹鋼護(hù)欄,沿著線段EF修建該主題樂園大門并設(shè)置檢票口,其中E,F分別為,上的動(dòng)點(diǎn),EF∥AB,且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為200元/米,直線部分的平均修建費(fèi)用為400元/米.

圖2-15-3
(1)若EF=80米,則檢票等候區(qū)域(陰影部分)的面積為多少平方米?
(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得修建費(fèi)用最低.
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[總結(jié)反思] (1)利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題的關(guān)鍵:理清數(shù)量關(guān)系、選取合適的自變量建立函數(shù)模型.
(2)注意:函數(shù)的定義域由實(shí)際問題確定,最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實(shí)際問題的答案.
變式題 某產(chǎn)品每件成本9元,售價(jià)30元,每星期賣出432件.如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,若商品單價(jià)降低x(0≤x≤21)元,則一個(gè)星期增加的銷售量為kx2(k>0)件.已知商品單件降低2元時(shí),一個(gè)星期的銷售量增加24件.(商品銷售利潤(rùn)=商品銷售收入-商品銷售成本)
(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)f(x)表示成x的函數(shù);
(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.
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第15講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
考試說(shuō)明 1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).
2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.

【課前雙基鞏固】
知識(shí)聚焦
1.(1)f'(x)0　f'(x)0,h(x)為增函數(shù),
所以x=x0是h(x)的極小值點(diǎn).故選B.
例2　[思路點(diǎn)撥] 先根據(jù)極值的定義求得a的值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化規(guī)律確定極值.
A　[解析] ∵x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點(diǎn),∴f'(1)=0,即a+=0,∴a=-1,
∴f'(x)=-1+=,
∴當(dāng)x>1時(shí),f'(x)0,則關(guān)于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有兩個(gè)正根,
可得解得10時(shí),易得f(x)在x=-處取得極大值,則有f=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,則g'(x)=3x2+(m-3).
當(dāng)m-3≥0時(shí),g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在極小值.
當(dāng)m-30,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時(shí),h'(x)0,
則g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),
又g(-1)=>0,x→-∞時(shí),g(x)→-∞,所以存在x00,得0φ(2)=-1,則由題意得-m≤-1,即m≥1,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1,+∞).
(2)對(duì)g(x)=(x>2)求導(dǎo),得g'(x)==(x>2).
記F(x)=ex-2+a(x>2),
由(1)知F(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,又F(2)=-1+a0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以g(x)在(2,+∞)上有最小值g(x0)=,
由題設(shè)得h(a)=.
又因?yàn)?a=,所以h(a)=.
令u(x)=ex-2(20,V是增函數(shù);

當(dāng)2