2020版高考數學（理）精優(yōu)大一輪復習人教A通用版講義：第2講命題及其關系-學案下載-教習網

第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件

1.命題
(1)命題的概念:數學中把用語言、符號或式子表達的,能夠判斷　　　　的陳述句叫作命題.其中　　　　　的語句叫作真命題,　　　　　的語句叫作假命題.?
(2)四種命題及其相互關系

圖1-2-1
特別提醒:若兩個命題互為逆否命題,則它們有相同的真假性.
2.充分條件、必要條件與充要條件
(1)如果p?q,則p是q的　　　　條件.?
(2)如果q?p,則p是q的　　　　條件.?
(3)如果既有p?q,又有q?p,記作p?q,則p是q的　　　　條件.?

常用結論
1.充要條件的兩個結論:
(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件;
(2)若p是q的充分不必要條件,則?q是?p的充分不必要條件.
2.充分、必要條件與集合的關系
使p成立的對象構成的集合
為A,使q成立的對象構成的集合為B

p是q的充分條件
A?B
p是q的必要條件
B?A
p是q的充分不必要條件
A?B
p是q的必要不充分條件
B?A
p是q的充要條件
A=B

題組一　常識題
1.[教材改編] 對于下列語句:①垂直于同一直線的兩條直線必平行嗎?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-31”的　　　　　　　條件.?
題組二　常錯題
◆索引:命題的條件與結論不明確;含有大前提的命題的否命題易出現(xiàn)否定大前提的情況;真、假命題的推理考慮不全面;對充分必要條件判斷錯誤.

5.命題“若a2+b2=0,a,b∈R,則a=b=0”的逆否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　.?
6.已知命題“對任意a,b∈R,若ab>0,則a>0”,則它的否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　.?
7.若命題“ax2-2ax-3>0不成立”是真命題,則實數a的取值范圍是　　　　.?
8.條件p:x>a,條件q:x≥2.
①若p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍是　　　　;?
②若p是q的必要不充分條件,則a的取值范圍是　　　　.?
9.已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的　　　　　　條件.?

探究點一　四種命題及其相互關系
例1 (1)對于命題“單調函數不是周期函數”,下列說法正確的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.逆命題為“周期函數不是單調函數”
B.否命題為“單調函數是周期函數”
C.逆否命題為“周期函數是單調函數”
D.以上都不正確
(2)給出以下四個命題:
①“若x+y=0,則x,y互為相反數”的逆命題;
②“全等三角形的面積相等”的否命題;
③“若q≤-1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題;
④若ab是正整數,則a,b都是正整數.
其中為真命題的是　　　　.(寫出所有真命題的序號)?
?
?
?
[總結反思] (1)求一個命題的其他三種命題時,需注意:
①對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫為“若p,則q”的形式;
②若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提.
(2)判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題為假命題,只需舉出反例.
(3)當不易直接判斷一個命題的真假時,根據互為逆否命題的兩個命題同真同假,可轉化為判斷其等價命題的真假.
變式題 (1)已知命題p:正數a的平方不等于0,命題q:若a不是正數,則它的平方等于0,則q是p的(　　)
A.逆命題 B.否命題
C.逆否命題 D.否定
(2)以下關于命題的說法正確的是　　　　.(填寫所有正確說法的序號)?
①“若log2(a+1)>1,則函數f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內是增函數”是真命題;
②命題“若a≠0,則a(b+1)≠0”的否命題是“若a=0,則a(b+1)=0”;
③命題“若x,y都是偶數,則(x+1)(y+1)是偶數”的逆命題為真命題;
④命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”等價.
探究點二　充分、必要條件的判定
例2 (1)[2018·北京卷] 設a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 (　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)“函數f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點”是“aa1”是“數列{an}為遞增數列”的 (　　)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的 (　　)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
探究點三　充分、必要條件的應用
例3 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是 (　　)
A.0|b| D.a3>b3
(2)[2018·衡陽4月調研] 已知p:實數m滿足m2+12a20),q:方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,且p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍為　　　　.?

第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件
考試說明 1.理解命題的概念;
2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關系;
3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.真假　判斷為真　判斷為假
2.(1)充分　(2)必要　(3)充要
對點演練
1.④　[解析] ①是疑問句,不是命題;②是祈使句,不是命題;③不能判斷真假,不是命題;④是命題.
2.0　[解析] ①為假命題,集合N中最小的數是0;②為假命題,如a=不滿足;③為假命題,如a=0,b=1,則a+b=1,比2小;④為假命題,所給集合中的元素不滿足互異性.
3.若整數a不是奇數,則a能被2整除　[解析] 以原命題結論的否定作條件、原命題條件的否定作結論得出逆否命題.
4.既不充分也不必要　[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故為既不充分也不必要條件.
5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,則a2+b2≠0　[解析] “若p,則q”的逆否命題為“若?q,則?p”,又a=b=0的實質為a=0且b=0,故其否定為a≠0或b≠0.
6.對任意a,b∈R,若ab≤0,則a≤0　[解析] “對任意a,b∈R”是大前提,在否命題中不變,又因為ab>0,a>0的否定分別為ab≤0,a≤0,所以原命題的否命題為“對任意a,b∈R,若ab≤0,則a≤0”.
7.[-3,0]　[解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.
當a=0時,-3≤0恒成立;
當a≠0時,得解得-3≤aa},則a的取值范圍是a1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=logax在其定義域內是增函數.②正確,由命題的否命題的定義知,該說法正確.③不正確,原命題的逆命題為“若(x+1)(y+1)是偶數,則x,y都是偶數”,是假命題,如(3+1)×(4+1)=20為偶數,但x=3,y=4.④正確,兩者互為逆否命題,因此兩命題等價.
例2　[思路點撥] (1)將已知等式兩邊同時平方,可得出向量a,b的關系,從而得出結論;(2)通過研究單調性,求出函數存在零點的充要條件為a≤-1,從而得出結論.
(1)C　(2)B　[解析] (1)將|a-3b|=|3a+b|兩邊平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均為單位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故為充分必要條件.
(2)因為f'(x)=>0,所以若函數f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點,則f(e)≤0,即a≤-1,因此“函數f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點”是“ab”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故滿足題意;
“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故選項C不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;
“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要條件,不滿足題意.故選B.
(2)由a>0,m2-7am+12a2c,不滿足a2>ab>c2,∴命題是假命題.
故答案可以為1,0,-1.
例2　[配合例2使用] [2018·武漢4月調研] 在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知條件p:a≤,條件q:A≤,那么p是q成立的 (　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[解析] A　由條件p:a≤,知cos A=≥=≥=,當且僅當b=c=a時取等號,
又A∈(0,π),∴0.
∴p是q成立的充分而不必要條件.
故選A.
例3　[配合例2使用] [2018·莆田六中三模] 在等比數列{an}中,a2=-2,則“a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=-1”的 (　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[解析] C　因為a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根,所以a4a12=1,
因此=1,又因為a2=-20 B.x