2020版高考數(shù)學(xué)（理）精優(yōu)大一輪復(fù)習(xí)人教A通用版講義：第6講函數(shù)的奇偶性與周期性-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第6講　函數(shù)的奇偶性與周期性

1.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)
奇函數(shù)
定義
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x
都有　　　　　　,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)?
都有　　　　　　,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)?
圖像特征
關(guān)于　　　　對稱?
關(guān)于　　　　對稱?
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有　　　　　　　,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.?
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個　　　　,那么這個　　　　就叫作f(x)的最小正周期.?

常用結(jié)論
1.奇(偶)函數(shù)定義的等價形式:
(1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù);
(2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù).
2.設(shè)f(x)的最小正周期為T,對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,則T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|.
3.對稱性與周期性之間的常用結(jié)論:
(1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|.
4.關(guān)于函數(shù)圖像的對稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論:
(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;
(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱;
(3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=-f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于點對稱;
(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點對稱.

題組一　常識題
1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=+|x|中,偶函數(shù)的個數(shù)是　　　　.?
2.[教材改編] 若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù),則它在[-b,-a]上是　　　　函數(shù);若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則它在[-b,-a]上是　　　　函數(shù).?
3.[教材改編] 已知f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=-1,則f(-2)=　　　　.?
4.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=log4(x2+4),則f(2019)=　　　　.?
題組二　常錯題
◆索引:判定奇偶性時,不化簡解析式導(dǎo)致出錯;奇偶性不能有效變化;找不到周期函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果;利用奇偶性求解析式時忽略定義域.
5.函數(shù)f(x)=是　　　　函數(shù).(填“奇”“偶”“非奇非偶”)?
6.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線　　　　對稱;若函數(shù)y=g(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點　　　　成中心對稱.?
7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f,且f(2)=2,則f(2018)=　　　　.?
8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=x-3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=　　　　　　　　　　　.?

探究點一　函數(shù)奇偶性及其延伸
微點1　函數(shù)奇偶性的判斷
例1 (1)[2018·杭州模擬] 設(shè)函數(shù)f(x)=+b(a>0且a≠1),則函數(shù)f(x)的奇偶性 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.與a無關(guān),且與b無關(guān)
B.與a有關(guān),且與b有關(guān)
C.與a有關(guān),但與b無關(guān)
D.與a無關(guān),但與b有關(guān)
(2)下列函數(shù)中奇函數(shù)、偶函數(shù)的個數(shù)分別是 (　　)
①f(x)=;②f(x)=log3(+x);
③f(x)=④f(x)=x2+cos x.
A.1,1 B.2,2
C.3,1 D.2,1
?
?
?
[總結(jié)反思] 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件:
(1)定義域關(guān)于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域.
(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.
微點2　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
例2 (1)[2018·北京東城區(qū)模擬] 若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值分別為p,q,則p+q的值為 (　　)
A.2 B.1
C.6 D.3
(2)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=2x+m,則f(-3)=　　　　.?
?
?
?
[總結(jié)反思] 利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題:
(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.
(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得方程(組),進而得出參數(shù)的值.
(4)畫函數(shù)圖像:利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖像.
(5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.
微點3　奇偶性延伸到其他對稱性問題(從平移角度說說其他對稱性問題)
例3 (1)[2018·廣東七校聯(lián)考] 已知定義域為R的函數(shù)f(x)在[2,+∞)上為增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則下列結(jié)論不成立的是 (　　)
A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2)
C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3)
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),f(3)=0,且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),則不等式g(2-2x)0且a≠1,對任意的實數(shù)λ,函數(shù)f(x)=ax+λa-x不可能 (　　)
A.是奇函數(shù)
B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)
3.【微點3】[2018·呂梁模擬] 函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱,若f(-2)=1,則滿足f(x-2)≤1的x的取值范圍是 (　　)
A.[-2,2]
B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.[0,4]
4.【微點2】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=　　　　　　.?
5.【微點2】若函數(shù)f(x)=kx+log3(1+9x)為偶函數(shù),則k=　　　　.?
探究點二　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用
例4 (1)已知函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),當(dāng)x∈(0,π)時,f(x)=2sin,則f=(　　)
A. B.
C.1 D.
(2)[2018·山西45校聯(lián)考] 函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在區(qū)間[-1,1]上f(x)=則f(2017)+f(2018)=(　　)
A.0 B.1
C.2 D.2018
?
?
?
[總結(jié)反思] (1)注意周期性的常見表達式的應(yīng)用.
(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個定義域內(nèi)的解析式(或相應(yīng)的函數(shù)值).
(3)在解決具體問題時,要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.
變式題 [2018·淮南二模] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=,當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=x+ex,則f(2018)=　　　　.?
探究點三　以函數(shù)性質(zhì)的綜合為背景的問題

微點1　奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合
例5 (1)[2017·全國卷Ⅰ] 函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是 (　　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)[2018·湖北師大附中5月質(zhì)檢] 定義在R上的函數(shù)f(x)=-1為偶函數(shù),記a=f(log0.52),b=f(log21.5),c=f(m),則 (　　)
A.c