2020版高考數(shù)學(xué)（理）精優(yōu)大一輪復(fù)習(xí)人教A通用版講義：第4講函數(shù)的概念及其表示

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第4講　函數(shù)的概念及其表示


1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)
映射
兩集合A,B
設(shè)A,B是兩個(gè)　　　?
設(shè)A,B是兩個(gè)　　　?
對(duì)應(yīng)關(guān)系
f:A→B
按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的　　　一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有　　　　的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)?
按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的　　　　一個(gè)元素x,在集合B中都有　　　　的元素y與之對(duì)應(yīng)?
名稱
稱　　　　為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)?
稱對(duì)應(yīng)　　　　為從集合A到集合B的一個(gè)映射?
記法
y=f(x),x∈A
對(duì)應(yīng)f:A→B
2.函數(shù)的三要素
函數(shù)由　　　　、　　　　和對(duì)應(yīng)關(guān)系三個(gè)要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的　　　　.與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的　　　　.?
3.函數(shù)的表示法
函數(shù)的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　.?
4.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的　　　　,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù).?

常用結(jié)論
1.常見函數(shù)的定義域
(1)分式函數(shù)中分母不等于0.
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.
(4)零次冪的底數(shù)不能為0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定義域均為R.
(6)y=logax(a>0,a≠1)的定義域?yàn)閧x|x>0}.
(7)y=tan x的定義域?yàn)閤x≠kπ+,k∈Z.
2.抽象函數(shù)的定義域
(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m,n],則在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,從而解得x的范圍,即為f[g(x)]的定義域.
(2)若f[g(x)]的定義域?yàn)閇m,n],則由m≤x≤n確定g(x)的范圍,即為f(x)的定義域.
3.基本初等函數(shù)的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)?+∞;當(dāng)a0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.


題組一　常識(shí)題
1.[教材改編] 以下屬于函數(shù)的有　　　　.(填序號(hào))?
①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).
2.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)=則f(-2)=　　　　,f[f(-2)]=　　　　.?
3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=的定義域是　.?
4.[教材改編] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),那么該函數(shù)的值域C的不同情況有　　　　種.?
題組二　常錯(cuò)題
◆索引:求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡(jiǎn)解析式致錯(cuò);分段函數(shù)解不等式時(shí)忘記范圍;換元法求解析式,反解忽視范圍;對(duì)函數(shù)值域理解不透徹致錯(cuò).
5.函數(shù)y=·的定義域是　　　　.?

6.設(shè)函數(shù)f(x)=則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為　　　　　　　.?
7.已知f()=x-1,則f(x)=　　　　　　.?
8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有　　　　個(gè).?

探究點(diǎn)一　函數(shù)的定義域
角度1　求給定函數(shù)解析式的定義域
例1 (1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,1] B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)
(2)函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)?(　　)
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
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[總結(jié)反思] (1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個(gè)基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域一般是各個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時(shí)一般是列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可;(4)注意不要輕易對(duì)解析式化簡(jiǎn)變形,否則易出現(xiàn)定義域錯(cuò)誤.
角度2　求抽象函數(shù)的定義域
例2 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],
則函數(shù)g(x)=的定義域是 (　　)
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
(2)若函數(shù)f(x2+1)的定義域?yàn)閇-1,1],則f(lg x)的定義域?yàn)?(　　)
A.[-1,1] B.[1,2]
C.[10,100] D.[0,lg 2]
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[總結(jié)反思] (1)無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合;(2)同一問題中、同一法則下的范圍是一致的,如f[g(x)]與f[h(x)],其中g(shù)(x)與h(x)的范圍(即它們的值域)一致.
變式題 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,1),則f(x+1)的定義域?yàn)?(　　)
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-1,1)
(2)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-,],則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椤　　　??

探究點(diǎn)二　函數(shù)的解析式
例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,則函數(shù)f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,則函數(shù)f(x)=　　　　　　　.?
(3)設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)不為0的一切實(shí)數(shù)x均有f(x)+2f=3x,則f(x)=　　　　.?
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[總結(jié)反思] 求函數(shù)解析式的常用方法:
(1)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.
(2)待定系數(shù)法:已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法.
(3)配湊法:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)解方程組法:已知f(x)與f或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).
變式題 (1)已知函數(shù)f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,則t= (　　)
A. B. C. D.
(2)若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)= (　　)
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
(3)若f(x)為一次函數(shù),且f[f(x)]=4x+1,則f(x)=　　　　　　　　　.?
探究點(diǎn)三　以分段函數(shù)為背景的問題
微點(diǎn)1　分段函數(shù)的求值問題
例4 (1)[2018·衡水調(diào)研] 設(shè)函數(shù)f(x)=則f[f(-1)]= (　　)
A. B.+1
C.1 D.3
(2)已知函數(shù)f(x)=則f(log27)=　　　　.?
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[總結(jié)反思] 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求值問題,應(yīng)由里到外依次求值.
微點(diǎn)2　分段函數(shù)與方程
例5 (1)已知函數(shù)f(x)=若f[f(1)]=3,則a= (　　)
A.2 B.-2
C.-3 D.3
(2)函數(shù)f(x)=若f(0)+f(a)=2,則a的值為　　　　.?
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[總結(jié)反思] (1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對(duì)自變量進(jìn)行分類討論,再求值.
微點(diǎn)3　分段函數(shù)與不等式問題
例6 (1)[2018·惠州二模] 設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x0)>1,則x0的取值范圍是 (　　)
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

(2)[2018·全國(guó)卷Ⅰ] 設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x+1)