第四節(jié)　直線、平面平行的判定與性質(zhì)
2019考綱考題考情



1．直線與平面平行
(1)判定定理

(2)性質(zhì)定理

2.平面與平面平行
(1)判定定理

(2)兩平面平行的性質(zhì)定理

3.平行關(guān)系中的兩個重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β。
(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ。


1．兩個平面平行，則其中任意一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。

2．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想，解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向。

一、走進(jìn)教材
1．(必修2P61A組T1(1)改編)下列命題中正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α
解析　根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理可知。故選D。
答案　D
2．(必修2P58練習(xí)T3改編)平面α∥平面β的一個充分條件是(　　)
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，a?α，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
解析　若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A。若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B。若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C。故選D。
答案　D
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析　若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α。若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件。故選A。
答案　A
4．(2016·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m?α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等。
其中正確的命題有________。(填寫所有正確命題的序號)
解析　對于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，則α，β的位置關(guān)系無法確定，故錯誤；對于②，因?yàn)閚∥α，所以可過直線n作平面γ與平面α相交于直線c，則n∥c，因?yàn)閙⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故正確；對于③，由兩個平面平行的性質(zhì)可知其正確；對于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確。故正確的有②③④。
答案?、冖邰?br /> 三、走出誤區(qū)
微提醒：①對空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不夠致誤；②對面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”認(rèn)識不清致誤；③對面面平行性質(zhì)定理理解不深致誤。
5．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線
B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數(shù)條與a平行的直線
D．存在唯一的與a平行的直線
解析　當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時，不存在與a平行的直線。故選A。
答案　A
6．下列條件中，能判斷兩個平面平行的是________。
①一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面；
②一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面；
③一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面；
④一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面。
解析　由兩個平面平行的判定定理可知，如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個平面平行，那么這兩個平面平行。顯然只有④符合條件。
答案　④
7．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________。

解析　因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG。同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形。
答案　平行四邊形

考點(diǎn)一 線面平行的判定與性質(zhì)微點(diǎn)小專題
方向1：直線與平面平行的判定與證明
【例1】　(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________。

(2)(2019·福州高三期末考試節(jié)選)如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn)。

證明：AF∥平面BCE。
(1)解析　連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE。

答案　平行
(2)證明　如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接FM，BM。
因?yàn)辄c(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn)，
所以FM∥CD且FM＝CD＝2，
因?yàn)锳B∥CD，且AB＝2，
所以FM∥AB且FM＝AB，
所以四邊形ABMF為平行四邊形，
所以AF∥BM，
因?yàn)锳F?平面BCE，BM?平面BCE，
所以AF∥平面BCE。


證法一：如圖，在平面ABCD內(nèi)，分別延長CB，DA，交于點(diǎn)N，連接EN。
因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，
所以A為DN的中點(diǎn)。
又F為DE的中點(diǎn)，
所以AF∥EN，
因?yàn)镋N?平面BCE，AF?平面BCE，
所以AF∥平面BCE。

證法二：如圖，取棱CD的中點(diǎn)G，連接AG，GF，
因?yàn)辄c(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn)，所以FG∥CE，
因?yàn)镕G?平面BCE，CE?平面BCE，
所以FG∥平面BCE。
因?yàn)锳B∥CD，AB＝CG＝2，
所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG∥BC，
因?yàn)锳G?平面BCE，BC?平面BCE，
所以AG∥平面BCE。
又FG∩AG＝G，F(xiàn)G?平面AFG，AG?平面AFG，
所以平面AFG∥平面BCE。
因?yàn)锳F?平面AFG，所以AF∥平面BCE。





證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行。
方向2：直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例2】　(2019·青島質(zhì)檢)如圖，五面體ABCDE中，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F(xiàn)是線段BC上一點(diǎn)，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF。

(1)試確定F的位置；
(2)求三棱錐A－CDF的體積。
解　(1)連接BE交AD于點(diǎn)O，連接OF，
因?yàn)镃E∥平面ADF，CE?平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，
所以CE∥OF。
因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，所以F是BC的中點(diǎn)。

(2)因?yàn)锽C與平面ABD所成角為30°，BC＝AB＝1，
所以C到平面ABD的距離為h＝BC·sin30°＝。
因?yàn)锳E＝2，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
所以VA－CDF＝VF－ACD＝VB－ACD＝VC－ABD
＝×××1×2×＝。


在應(yīng)用線面平行的判定定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行。
【題點(diǎn)對應(yīng)練】　
1．(方向1)如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點(diǎn)。

(1)證明：CE∥平面PAB；
(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值。
解　(1)證明：如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B。因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA的中點(diǎn)，

所以EF∥AD且EF＝AD。
又因?yàn)锽C∥AD，BC＝AD，
所以EF∥BC且EF＝BC，
即四邊形BCEF為平行四邊形，
所以CE∥BF。
因?yàn)锽F?平面PAB，CE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB。
(2)分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N。
連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ，BN。
因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，
所以Q為EF的中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE。
由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD。
由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD。
又PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN。
由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
那么平面PBC⊥平面PBN。
過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH。
則MH是MQ在平面PBC上的射影，
所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角。
設(shè)CD＝1。
在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝，
在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝，
在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝，
所以sin∠QMH＝，
所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是。
2．(方向2)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH。

求證：PA∥GH。
證明　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，
又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM。
又MO?平面BMD，PA?平面BMD，
所以PA∥平面BMD。
又因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，
且PA?平面PAHG，所以PA∥GH。


考點(diǎn)二 面面平行的判定與性質(zhì)微點(diǎn)小專題
方向1：面面平行的判定與證明
【例3】　已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點(diǎn)。

求證：平面BEF∥平面AD1C1。
證明　取AD的中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G。因?yàn)镋，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點(diǎn)，
所以C1D1綊CD綊EF，
因?yàn)镃1D1?平面AD1C1，EF?平面AD1C1，
所以EF∥平面AD1C1。
因?yàn)锳D∥BC，AD＝2BC，
所以GD綊BC，即四邊形BCDG是平行四邊形，
所以BG綊CD，所以BG綊EF，
即四邊形EFGB是平行四邊形，
所以BE∥FG。因?yàn)镕，G分別是DD1，AD的中點(diǎn)，
所以FG∥AD1，所以BE∥AD1。
因?yàn)锳D1?平面AD1C1，BE?平面AD1C1，
所以BE∥平面AD1C1。
又BE?平面BEF，F(xiàn)E?平面BEF，BE∩EF＝E，
所以平面BEF∥平面AD1C1。



證明面面平行的常用方法
1．利用面面平行的定義或判定定理。
2．利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)。
3．利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)。
方向2：面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例4】　如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的多面體中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD。請在圖中作出平面α，使得DE?α，且BF∥α，并說明理由。

解　如圖，取BC的中點(diǎn)P，連接PD，PE，則平面PDE即為所求的平面α。
下面證明BF∥α。
因?yàn)锽C＝2AD，AD∥BC，所以AD∥BP，且AD＝BP，

所以四邊形ABPD為平行四邊形，
所以AB∥DP。
又AB?平面PDE，PD?平面PDE，
所以AB∥平面PDE。
因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE。
又AF?平面PDE，DE?平面PDE，
所以AF∥平面PDE。
又AF?平面ABF，AB?平面ABF，AB∩AF＝A，
所以平面ABF∥平面PDE。
又BF?平面ABF，所以BF∥平面PDE，即BF∥α。


本題先構(gòu)造平面FAB∥平面EDP，又FB?平面FAB，從而FB∥平面EDP，從本例4可以看出線面平行可以通過面面平行的性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)。另外，有時線線平行也可以通過面面平行的性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)。
【題點(diǎn)對應(yīng)練】　
1．(方向1)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且A1B∥平面AC1D，點(diǎn)D1是B1C1的中點(diǎn)。

求證：平面A1BD1∥平面AC1D。
證明　如圖，連接A1C交AC1于點(diǎn)E，連接ED，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以點(diǎn)E是A1C的中點(diǎn)，因?yàn)锳1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED，
因?yàn)辄c(diǎn)E是A1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)D1是B1C1的中點(diǎn)，所以D1C1綊BD，
所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以BD1∥C1D。
又BD1?平面AC1D，C1D?平面AC1D，
所以BD1∥平面AC1D，又因?yàn)锳1B∩BD1＝B，
所以平面A1BD1∥平面AC1D。

2．(方向2)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB。已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)。

求證：GH∥平面ABC。
證明　取FC中點(diǎn)I，連接GI，HI，則有GI∥EF，HI∥BC，所以HI∥平面ABC，

又EF∥DB，所以GI∥BD，
所以GI∥平面ABC。
又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，
所以平面GHI∥平面ABC，
因?yàn)镚H?平面GHI，
所以GH∥平面ABC。

1．(配合例1使用)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由。

解　解法一：假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)E，使得DE∥平面AB1C1，
如圖，取BB1的中點(diǎn)F，

連接DF，EF，ED，則DF∥B1C1，
又DF?平面AB1C1，
B1C1?平面AB1C1，
所以DF∥平面 AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面AB1C1，
因?yàn)镋F?平面DEF，所以EF∥平面AB1C1，
又因?yàn)镋F?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，所以EF∥AB1，
因?yàn)辄c(diǎn)F是BB1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。
即當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時，DE∥平面AB1C1。

解法二：存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時，DE∥平面AB1C1。
證明如下：
如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，
則DF∥B1C1。
因?yàn)镈F?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1。
因?yàn)锳B的中點(diǎn)為E，連接EF，ED，
則EF∥AB1。
因?yàn)镋F?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1。
因?yàn)镈F∩EF＝F，
所以平面DEF∥平面AB1C1。
而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1。
2．(配合例2使用)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2。點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH。

(1)證明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積。
解　(1)證明：因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC?平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC。
同理可證EF∥BC，因此GH∥EF。

(2)如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK。
因?yàn)镻A＝PC，O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD。
又BD∩AC＝O，且AC，BD?底面ABCD，
所以PO⊥底面ABCD。
又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH。
因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD。
又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF。
所以GK是梯形GEFH的高。
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
從而KB＝DB＝OB，即K為OB的中點(diǎn)。
再由PO∥GK得GK＝PO，
即G是PB的中點(diǎn)，且GH＝BC＝4。
由已知可得OB＝4，
PO＝＝＝6，所以GK＝3。
故四邊形GEFH的面積S＝·GK＝×3＝18。
3．(配合例4使用)如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E分別為PA，AC的中點(diǎn)。

(1)求證：DE∥平面PBC；
(2)試問在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點(diǎn)F的位置并證明；若不存在，請說明理由。
解　(1)證明：因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為PA的中點(diǎn)，
所以DE∥PC。
又DE?平面PBC，PC?平面PBC，
所以DE∥平面PBC。
(2)存在，當(dāng)點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)時，過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行。
證明如下：
如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF。

由(1)可知DE∥平面PBC。
因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC。
又EF?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC。
又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行。
故當(dāng)點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)時，過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行。

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部