第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
2019考綱考題考情



1．直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法
方法
過程
依據(jù)
結(jié)論
代數(shù)法
聯(lián)立方程組消去x(或y)得一元二次方程，計算Δ＝b2－4ac
Δ＞0
相交
Δ＝0
相切
Δ＜0
相離
幾何法
計算圓心到直線的距離d，比較d與半徑r的關(guān)系。相交時弦長為2
d＜r
相交
d＝r
相切
d＞r
相離
2.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)。
方法
位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況
外離
d＞r1＋r2
無解
外切
d＝r1＋r2
一組實數(shù)解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
兩組不同的實數(shù)解

續(xù)表
方法
位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況
內(nèi)切
d＝|r1－r2|
(r1≠r2)
一組實數(shù)解
內(nèi)含
0≤d＜|r1－r2|
(r1≠r2)
無解
3.兩圓公切線的條數(shù)
位置關(guān)系
內(nèi)含
內(nèi)切
相交
外切
外離
公切線條數(shù)
0
1
2
3
4

1．關(guān)注一個直角三角形
當直線與圓相交時，由弦心距(圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成一個直角三角形。
2．兩圓相交時公共弦所在直線的方程
設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0。

一、走進教材
1．(必修2P128練習T4改編)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。
答案　C
2．(必修2P133A組T9改編)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________。
解析　由得x－y＋2＝0。又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為＝。由勾股定理得弦長的一半為＝，所以所求弦長為2。
答案　2
二、走近高考
3．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析　因為直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。由圓(x－2)2＋y2＝2可得圓心坐標為(2,0)，r＝，△ABP的面積記為S，點P到直線AB的距離記為d，則有S＝|AB|·d＝d，又圓心到直線的距離d′＝＝2，則dmax＝3，dmin＝，所以2≤S≤6。故選A。
答案　A
4．(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　)
A．2 B．
C． D．
解析　設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0。圓的半徑為2，弦長為2。圓心(2,0)到直線的距離為，則＝，即＝，得＝，所以＝，所以1－2＝，所以1－＝，所以e＝2。故選A。
答案　A
三、走出誤區(qū)
微提醒：①忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形；②忽視切線斜率k不存在的情形；③求弦所在直線的方程時遺漏一解。
5．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________。
解析　兩圓的圓心距d＝，由兩圓相切，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0。
答案　±2或0
6．已知圓C：x2＋y2＝9，過點P(3,1)作圓C的切線，則切線方程為________。
解析　由題意知P在圓外，當切線斜率不存在時，切線方程為x＝3，滿足題意；當切線斜率存在時，設(shè)斜率為k，所以切線方程為y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切線方程為4x＋3y－15＝0。綜上，切線方程為x＝3或4x＋3y－15＝0。
答案　x＝3或4x＋3y－15＝0
7．若直線過點P且被圓x2＋y2＝25截得的弦長是8，則該直線的方程為______________。
解析　當直線的斜率不存在時，該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程得y＝±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足題意。當直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線的方程為y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，則圓心到直線的距離d＝，則2＝8，解得k＝－，所以直線方程為3x＋4y＋15＝0。綜上所述，所求直線方程為x＝－3或3x＋4y＋15＝0。
答案　x＝－3或3x＋4y＋15＝0

考點一 直線與圓的位置關(guān)系
【例1】　(2019·西安八校聯(lián)考)若過點A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點，則直線l斜率的取值范圍為(　　)
A．(－，) B．[－，]
C． D．
解析　數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)到直線y＝k(x－3)的距離應小于等于半徑1，即≤1，解得－≤k≤。故選D。

解析：數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，當k＝1時，直線l的方程為x－y－3＝0，圓心(1,0)到直線l的距離為＝>1，直線與圓相離，故排除A，B；當k＝時，直線l的方程為x－y－3＝0，圓心(1,0)到直線l的距離為＝1，直線與圓相切，排除C。故選D。

答案　D


判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
1．幾何法：利用d與r的關(guān)系。
2．代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷。
3．點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交。
【變式訓練】　(1)已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相離 D．不確定
(2)圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為(　　)
A．相離 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析　(1)因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部