2020版《微點(diǎn)教程》高考人教A版文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔：第二章第七節(jié)　函數(shù)的圖象 學(xué)案

第七節(jié)　函數(shù)的圖象2019考綱考題考情1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線。首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)。其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線。2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換：y＝f(x)y＝f(x－a)；y＝f(x)y＝f(x)＋b。(2)伸縮變換：y＝f(ωx)；y＝f(x)y＝Af(x)。(3)對(duì)稱變換：y＝f(x)y＝－f(x)；y＝f(x)y＝f(－x)；y＝f(x)y＝－f(－x)。(4)翻折變換：y＝f(x)y＝f(|x|)；y＝f(x)y＝|f(x)|。　1．左右平移僅僅是相對(duì)x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進(jìn)行操作。如果x的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換。2．上下平移僅僅是相對(duì)y而言的，即發(fā)生變化的只是y本身，利用“上減下加”進(jìn)行操作。但平時(shí)我們是對(duì)y＝f(x)中的f(x)進(jìn)行操作，滿足“上加下減”。3．記住幾個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱。(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱。(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱。 一、走進(jìn)教材1．(必修1P112A組T4改編)李明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛。則與以上事件吻合最好的圖象是(　　)解析　距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于李明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，后段比前段下降得快。答案　C2．(必修1P24A組T7改編)下列圖象是函數(shù)y＝的圖象的是(　　)解析　其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的兩部分組成。故選C。答案　C二、走近高考3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為(　　)解析　易得函數(shù)y＝－x4＋x2＋2為偶函數(shù)，y′＝－4x3＋2x＝－2x(x＋1)(x－1)，令y′>0，即2x(x＋1)(x－1)<0，解得x<－或0<x<，所以當(dāng)y′<0時(shí)，－<x<0或x>，所以函數(shù)y＝－x4＋x2＋2在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減。故選D。解析：令x＝0，則y＝2，排除A，B項(xiàng)；令x＝，則y＝－＋＋2＝＋2，令x＝，則y＝－＋＋2＝＋2，排除C。故選D。答案　D三、走出誤區(qū)微提醒：①函數(shù)圖象的平移、伸縮法則記混出錯(cuò)；②不注意函數(shù)的定義域出錯(cuò)。4．把函數(shù)f(x)＝lnx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到的圖象的函數(shù)解析式是________。解析　根據(jù)伸縮變換方法可得，所求函數(shù)解析式為y＝ln。答案　y＝ln5．設(shè)f(x)＝2－x，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，h(x)的圖象由g(x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，則h(x)＝________。解析　與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝－log2x，再將其圖象右移1個(gè)單位得到h(x)＝－log2(x－1)的圖象。答案　－log2(x－1)6．請(qǐng)畫出函數(shù)y＝elnx＋|x－1|的圖象。解　y＝其圖象如圖所示。　考點(diǎn)一   作函數(shù)的圖象【例1】　作出下列函數(shù)的圖象。(1)y＝；(2)y＝|x＋1|；(3)y＝|log2x－1|；(4)y＝x2－2|x|－1。解　(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x∈R|x≠－1}。y＝＝－1＋，因此由y＝的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)y＝的圖象，如圖①所示。(2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的圖象，然后作其關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象，再將整個(gè)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即得到y＝|x＋1|的圖象，如圖②所示。(3)先作出y＝log2x的圖象，再將圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方來，即得到y＝|log2x－1|的圖象，如圖③所示。(4)y＝圖象如圖。【互動(dòng)探究】　將本例(4)改為y＝|x2－2x－1|，其圖象怎樣畫出？解　y＝圖象如圖所示。函數(shù)圖象的畫法1．直接法：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出。2．轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象。3．圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出。提醒：(1)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域。(2)利用圖象變換法時(shí)要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響。 【變式訓(xùn)練】　畫出下列函數(shù)的圖象。(1)y＝elnx；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝|x－2|·(x＋1)。解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>{x|x>0}且y＝elnx＝x(x>0)，所以其圖象如圖所示。(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖所示。(3)當(dāng)x≥2，即x－2≥0時(shí)，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；當(dāng)x<2，即x－2<0時(shí)，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋。所以y＝這是分段函數(shù)，每段函數(shù)的圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(如圖)。考點(diǎn)二   識(shí)別函數(shù)的圖象【例2】　(2018·浙江高考)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是(　　)　 A　　 　　 B　　　　　C　　　　　D解析　設(shè)f(x)＝2|x|sin2x，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函數(shù)，故排除A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，故排除C。故選D。答案　D1．抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性。2．抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題。 【變式訓(xùn)練】　(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)函數(shù)f(x)＝e|x|－2x2在[－2,2]上的圖象大致為(　　)　　　 A　　　　　　 　　　　　B　　　 C　　　　　　 　　　　　D解析　函數(shù)f(x)＝e|x|－2x2在[－2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。f(2)＝e2－8，－1<e2－8<0，排除C，D。當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f′(x)＝ex－4x，令f′(x)＝0，得ex＝4x。在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y1＝ex，y2＝4x的圖象(圖略)，可得兩圖象在[0,2]上有一個(gè)交點(diǎn)，即f′(x)在[0,2]上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，當(dāng)x∈[0，x0]時(shí)，f′(x)＝ex－4x≥0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x∈[x0,2]時(shí)，f′(x)＝ex－4x≤0，f(x)為減函數(shù)，排除B。故選A。答案　A考點(diǎn)三   函數(shù)圖象的應(yīng)用微點(diǎn)小專題方向1：研究函數(shù)的性質(zhì)【例3】　(2019·貴陽市監(jiān)測(cè)考試)已知函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱B．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱D．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸解析　由題知，函數(shù)f(x)＝的圖象是由函數(shù)y＝的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，A正確；函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，B錯(cuò)誤；易知函數(shù)f(x)＝的圖象不關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由函數(shù)f(x)的單調(diào)性及函數(shù)f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象上不存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸，D錯(cuò)誤。故選A。答案　A利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對(duì)應(yīng)關(guān)系。如：圖象的左右范圍對(duì)應(yīng)定義域，上下范圍對(duì)應(yīng)值域，上升、下降趨勢(shì)對(duì)應(yīng)單調(diào)性，對(duì)稱性對(duì)應(yīng)奇偶性。 方向2：求參數(shù)的取值范圍【例4】　(2019·南寧市摸底聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋2)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝x－1，若在區(qū)間(－2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B．(1,4)C．(1,8) D．(8，＋∞)解析　因?yàn)?/span>?x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x＋4)＝f(2＋(x＋2))＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且T＝4。又因?yàn)楫?dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝x－1＝()－x－1，所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝f(－x)＝()x－1，于是x∈[－2，2]時(shí)，f(x)＝()|x|－1，根據(jù)f(x)的周期性作出f(x)的圖象如圖所示。若在區(qū)間(－2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0有且只有4個(gè)不同的根，則a>1且y＝f(x)與y＝loga(x＋2)(a>1)的圖象在區(qū)間(－2,6)內(nèi)有且只有4個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?/span>f(－2)＝f(2)＝f(6)＝1，所以對(duì)于函數(shù)y＝loga(x＋2)(a>1)，當(dāng)x＝6時(shí)，loga8<1，解得a>8，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(8，＋∞)。故選D。答案　D當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí)，可將函數(shù)(或方程)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù)，再根據(jù)題設(shè)條件和圖象的變化確定參數(shù)的取值范圍。 【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】　1．(方向1)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)解析　f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減。故選C。 答案　C2．(方向1)函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那么不等式<0的解集為________。解析　在上，y＝cosx>0，在上，y＝cosx<0。由f(x)的圖象知，在上，<0。因?yàn)?/span>f(x)為偶函數(shù)，y＝cosx也是偶函數(shù)，所以y＝為偶函數(shù)，所以<0的解集為∪。答案　∪3．(方向2)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解析　作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象如圖所示，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)。答案　[－1，＋∞)1．(配合例2使用)函數(shù)f(x)＝的圖象大致是(　　)　　　　A　　　　　　　　　　B　　　　C　　　　　　　　　　D解析　易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠±1}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝>0，排除D；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＝<0，排除A，C。故選B。答案　B2．(配合例3使用)已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍是(　　)A．(1,2 017) B．(1,2 018)C．[2,2 018] D．(2,2 018)解析　設(shè)f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，作出函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m，如圖所示，不妨設(shè)a<b<c，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m的交點(diǎn)分別為A，B，由正弦曲線的對(duì)稱性，可得A(a，m)與B(b，m)關(guān)于直線x＝對(duì)稱，因此a＋b＝1，令log2 017x＝1，解得x＝2 017，結(jié)合圖象可得1<c<2 017，因此可得2<a＋b＋c<2 018，即a＋b＋c∈(2,2 018)。故選D。答案　D3．(配合例4使用)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)A．(－∞，0)   B.C．(0，＋∞) D．(0,1)解析　依題意，函數(shù)f(x)的圖象上存在2對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，如圖，可作出函數(shù)y＝－ln(－x)(x<0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)y＝lnx(x>0)的圖象，使得它與直線y＝kx－1(x>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2即可，當(dāng)直線y＝kx－1與y＝lnx的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(m，lnm)，又y＝lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝，則解得可得切線的斜率為1，結(jié)合圖象可知k∈(0,1)時(shí)，函數(shù)y＝lnx的圖象與直線y＝kx－1有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)。故選D。答案　D