第九節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用2019考綱考題考情1．三種函數(shù)模型性質(zhì)比較2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f (x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f (x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f (x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)  　 “直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢。 一、走進(jìn)教材　　　　　　　　　　　1．(必修1P107A組T1改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是(　　)A．y＝2x   B．y＝x2－1C．y＝2x－2   D．y＝log2x解析　根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意。故選D。答案　D二、走近高考2．(2018·浙江高考)我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何。”設(shè)雞翁、雞母、雞雛個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則當(dāng)z＝81時(shí)，x＝________，y＝________。解析　因?yàn)?/span>z＝81，所以解得答案　8　113．(2017·北京高考)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080。下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)(　　)A．1033   B．1053C．1073   D．1093解析　因?yàn)?/span>＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故選D。答案　D三、走出誤區(qū)微提醒：①對(duì)三種函數(shù)增長速度的理解不深致錯(cuò)；②建立函數(shù)模型出錯(cuò)；③計(jì)算出錯(cuò)。4．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是(　　)A．f (x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f (x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f (x)D．f (x)>h(x)>g(x)解析　由圖象知，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，增長速度由大到小依次為g(x)>f (x)>h(x)。故選B。答案　B5．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)。1萬件售價(jià)是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　)A．36萬件   B．18萬件C．22萬件   D．9萬件解析　利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18萬件時(shí)，L(x)有最大值。故選B。答案　B6．一個(gè)容器裝有細(xì)砂a cm3，細(xì)砂從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)砂量為y＝ae－bt cm3，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的細(xì)砂，則再經(jīng)過________min，容器中的細(xì)砂只有開始時(shí)的八分之一。解析　當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的細(xì)砂只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16 min容器中的細(xì)砂只有開始時(shí)的八分之一。答案　16考點(diǎn)一  用函數(shù)圖象的變化刻畫變化過程　　　【例1】　(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)解析　通過題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，所以B正確。從圖觀察C是正確的，D也正確，1月至6月比較平穩(wěn)，7月至12月波動(dòng)比較大。故選A。答案　A 當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案。 【變式訓(xùn)練】　汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列敘述中正確的是(　　)A．消耗1 L汽油，乙車最多可行駛5 kmB．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80 km/h的速度行駛1 h，消耗10 L汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80 km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油解析　對(duì)于A選項(xiàng)：由題圖可知，當(dāng)乙車速度大于40 km/h時(shí)，乙車每消耗1 L汽油，行駛里程都超過5 km，則A錯(cuò)誤。對(duì)于B選項(xiàng)：由題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，則B錯(cuò)誤。對(duì)于C選項(xiàng)：甲車以80 km/h的速度行駛時(shí)，燃油效率為10 km/L，則行駛1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，則C錯(cuò)誤。對(duì)于選項(xiàng)D：速度在80 km/h 以下時(shí)，丙車比乙車燃油效率更高，所以更省油，故D對(duì)。答案　D考點(diǎn)二  已知函數(shù)模型的實(shí)際問題【例2】　某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)。已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克。(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大。解　(1)因?yàn)?/span>x＝5時(shí)，y＝11，所以＋10＝11，a＝2。(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤f (x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6。從而，f ′(x)＝30(x－4)(x－6)。于是，當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f (x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f ′(x)＋0－f (x)極大值42由上表可得，x＝4是函數(shù)f (x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f (x)取得最大值，且最大值等于42。即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大。 求解已給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)1．認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)。2．根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)。3．利用該模型求解實(shí)際問題。 【變式訓(xùn)練】　某食品的保鮮時(shí)間y(單位：h)與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))。若該食品在0 ℃的保鮮時(shí)間是192 h，在22 ℃的保鮮時(shí)間是48 h，則該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是______h。解析　依題意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－(舍去)，于是該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(h)。答案　24考點(diǎn)三  構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題微點(diǎn)小專題方向1：構(gòu)建二次函數(shù)模型【例3】　某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是(　　)A．10.5萬元   B．11萬元C．43萬元   D．43.025萬元解析　設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32。因?yàn)?/span>x∈[0,16]，且x∈N，所以當(dāng)x＝10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元。故選C。答案　C方向2：構(gòu)建分段函數(shù)模型【例4】　“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)。研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)。當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0千克/年。(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式。(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？求出最大值。解　(1)由題意得當(dāng)0<x≤4時(shí)，v＝2；當(dāng)4<x≤20時(shí)，設(shè)v＝ax＋b，顯然v＝ax＋b在(4,20]內(nèi)是減函數(shù)，由已知得解得所以v＝－x＋。故函數(shù)v＝(2)設(shè)年生長量為f (x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f (x)＝當(dāng)0<x≤4時(shí)，f (x)為增函數(shù)，故f (x)max＝f (4)＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時(shí)，f (x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f (x)max＝f (10)＝12.5。所以當(dāng)0<x≤20時(shí)，f (x)的最大值為12.5。即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米。方向3：構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型【例5】　(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)A．1.5%　　B．1.6%  C．1.7%　　D．1.8%(2)十三屆全國人大一次會(huì)議《政府工作報(bào)告》指出：過去五年來，我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力躍上新臺(tái)階。國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟(jì)比重從11.4%提高到15%左右，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率超過30%,2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右。如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.0653≈1.208)(　　)A．93.8萬億元   B．99.9萬億元C．97萬億元   D．106.39萬億元解析　(1)設(shè)每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%。故選C。(2)由題意可知，2020年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(萬億元)。故選B。答案　(1)C　(2)B 解函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答。以上過程可簡潔表述為：―→―→―→ 

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