1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z).
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R
x|x∈R，且x

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
為增；
為減
[2kπ－π，2kπ]為增；[2kπ，2kπ＋π]為減
為增
對稱中心
(kπ，0)


對稱軸
x＝kπ＋
x＝kπ


[小題體驗]
1．(2019·徐州調(diào)研)函數(shù)f(x)＝3sin的最小正周期為________．
答案：4π
2．函數(shù)y＝－tan＋2的定義域為________________．
答案：
3．函數(shù)y＝sin的圖象的對稱軸是________．
解析：y＝sin＝cos x，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝sin圖象的對稱軸是x＝kπ，k∈Z.
答案：x＝kπ，k∈Z
4．(2019·蘇州調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝sin πx，x∈，則f(x)的值域為________．
解析：函數(shù)f(x)＝sin πx，
∵x∈，∴πx∈，∴≤sin πx≤1.
即f(x)的值域為.
答案：

1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響．
2．要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，盡量化成ω＞0時的情況．
3．三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“∪”聯(lián)結(jié)．
[小題糾偏]
1．函數(shù)y＝tan x的值域為________．
解析：作出正切函數(shù)在，內(nèi)的圖象，根據(jù)圖象可以得到函數(shù)的值域為 (－∞，－]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－]∪[1，＋∞)
2．(2019·常州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝sin，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________________．
解析：函數(shù)f(x)＝sin＝－sin，
由2kπ＋≤4x－≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
答案：，k∈Z

　
[題組練透]
1．(2019·揚州中學(xué)檢測)函數(shù)y＝tan的定義域為________________．
解析：由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
故所求定義域為.
答案：
2．求函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域．
解：由得
所以－3≤x＜－或0＜x＜.
所以函數(shù)y＝lg(sin 2x)＋的定義域為∪.
[謹記通法]
(1)應(yīng)用正切函數(shù)y＝tan x的定義域求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域，要注意本身的 要求．
(2)求復(fù)雜函數(shù)的定義域時轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式．
　
[典例引領(lǐng)]
1．(2019·淮安聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos，x∈，則f(x)的值域是________．
解析：∵x∈，∴x＋∈，
∴cos∈，
∴2cos∈[－1,2]，故f(x)的值域是[－1,2]．
答案：[－1,2]
2．(2019·徐州調(diào)研)當x∈時，函數(shù)y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
解析：由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，
當x∈時，sin x∈.
∵y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1
＝22＋，
∴當sin x＝時，ymin＝；當sin x＝1或－時，ymax＝2.
答案：　2
[由題悟法]
三角函數(shù)最值或值域的3種求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域．
(3)換元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求．
[即時應(yīng)用]
1．已知函數(shù)f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由x∈，知x＋∈.
因為x＋∈時，f(x)的值域為，
所以由函數(shù)的圖象知≤a＋≤，所以≤a≤π.
答案：
2．求函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值與最小值．
解：令t＝sin x，因為|x|≤，所以t∈.
所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
所以當t＝時，ymax＝，當t＝－時，ymin＝.
所以函數(shù)y＝cos2x＋sin x的最大值為，最小值為.
　

[鎖定考向]
三角函數(shù)的性質(zhì)主要包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，而三角函數(shù)的對稱性多與奇偶性、周期性結(jié)合．
常見的命題角度有：
(1)三角函數(shù)的周期性；
(2)三角函數(shù)的對稱性；
(3)三角函數(shù)的單調(diào)性．　　　 　
[題點全練]
角度一：三角函數(shù)的周期性
1．(2019·南京調(diào)研)函數(shù)y＝tan的最小正周期是________．
解析：函數(shù)y＝tan＝－tan的最小正周期是＝1.
答案：1
角度二：三角函數(shù)的對稱性
2．若函數(shù)f(x)＝sin－cos的圖象關(guān)于原點對稱，則角θ＝________.
解析：因為f(x)＝2sin，且f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，所以θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)．又|θ|＜，所以θ＝.
答案：
角度三：三角函數(shù)的單調(diào)性
3．已知f(x)＝sin，x∈[0，π]，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
解析：由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
答案：
4．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝________.
解析：因為f(x)＝sin ωx(ω＞0)過原點，
所以當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數(shù)；
當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減知，＝，所以ω＝.
答案：
[通法在握]
1．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和對稱性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當x＝0時，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當x＝0時，f(x)＝0.
(2)對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷．
2．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法
(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．
(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間．
[演練沖關(guān)]
　已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π.
(1)求當f(x)為偶函數(shù)時φ的值；
(2)若f(x)的圖象過點，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解：因為f(x)的最小正周期為π，則T＝＝π，所以ω＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)當f(x)為偶函數(shù)時，φ＝＋kπ，k∈Z，
所以cos φ＝0，因為0＜φ＜，所以φ＝.
(2)f(x)的圖象過點時，sin＝，
即sin＝.
又因為0＜φ＜，所以＜＋φ＜π.
所以＋φ＝，φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．(2019·南通調(diào)研)已知函數(shù)y＝cos aπx(a＞0)的最小正周期為2，則實數(shù)a＝________.
解析：∵函數(shù)y＝cos aπx(a＞0)的最小正周期為＝2，∴a＝1.
答案：1
2．(2018·南京名校聯(lián)考)函數(shù)y＝tan x，x∈的值域是________．
解析：函數(shù)y＝tan x在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以值域是[0,1]．
答案：[0,1]
3．(2018·南京調(diào)研)如圖，已知A，B分別是函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個最高點和第一個最低點，且∠AOB＝，則該函數(shù)的最小正周期是________．
解析：連結(jié)AB，設(shè)AB與x軸的交點為C，則由∠AOB＝，得CO＝CA＝CB.又OA＝CA，所以△AOC是高為的正三角形，從而OC＝2，所以該函數(shù)的最小正周期是4.
答案：4


4．(2018·蘇北四市調(diào)研)函數(shù)y＝3sin x＋cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
解析：化簡可得y＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
答案：
5．已知函數(shù)f(x)＝sin，其中x∈.若f(x)的值域是，則α的取值范圍是________．
解析：若－≤x≤α，則－≤2x＋≤2α＋.因為當2x＋＝－或2x＋＝時，sin＝－，所以要使f(x)的值域是，則≤2α＋≤，即≤2α≤π，所以≤α≤，即α的取值范圍是.
答案：
6．下列正確命題的序號為________．
①y＝tan x為增函數(shù)；
②y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為；
③在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函數(shù)；
④在上y＝tan x的最大值是1，最小值為－1.
解析：函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故①錯誤；函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為，故②正確；當x＝－，時，y＝tan x無意義，故③錯誤；由正切函數(shù)的圖象可知④正確．
答案：②④
二保高考，全練題型做到高考達標
1．(2018·如東中學(xué)檢測)函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域為________．
解析：由y＝sin2x＋sin x－1，令t＝sin x，t∈[－1,1]，則有y＝t2＋t－1＝2－，畫出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當t＝－及t＝1時，函數(shù)取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈.
答案：
2．設(shè)偶函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分圖象如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，則f＝________.
解析：由題意知，點M到x軸的距離是，根據(jù)題意可設(shè)f(x)＝cos ωx，
又由題圖知·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cos πx，故f＝cos＝.
答案：
3．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)對任意x都有f＝f，則f＝________.
解析：因為函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對任意x都有f＝f，所以該函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對稱，因為在對稱軸處對應(yīng)的函數(shù)值為最大值或最小值，故f＝±2.
答案：－2或2
4．(2018·通州期末)已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于M對稱，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則φ＝________，ω＝________.
解析：由f(x)是R上的偶函數(shù)，得φ＝＋kπ，k∈Z.
∵0≤φ≤π，∴φ＝.
∴f(x)＝sin＝cos ωx.
∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于M對稱，
∴ω＝＋kπ，k∈Z，即ω＝＋k，k∈Z.
又f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
∴≥，即T≥π，
∴0＜ω≤2.故ω＝2或.
答案：　2或
5．(2019·海安模擬)函數(shù)f(x)＝sin的圖象在區(qū)間上的對稱軸方程為________．
解析：對于函數(shù)f(x)＝sin的圖象，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
令k＝0，可得函數(shù)f(x)在區(qū)間上的對稱軸方程為x＝.
答案：x＝
6．(2018·鎮(zhèn)江一中測試)已知角φ的終邊經(jīng)過點P(－4,3)，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則f＝________.
解析：由于角φ的終邊經(jīng)過點P(－4,3)，所以cos φ＝－.再根據(jù)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，可得＝2×，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以f＝sin＝cos φ＝－.
答案：－
7．(2019·阜寧中學(xué)檢測)若直線x＝(|k|≤1)與函數(shù)y＝tan的圖象不相交，則k＝________.
解析：直線x＝(|k|≤1)與函數(shù)y＝tan的圖象不相交，等價于當x＝時，函數(shù)y＝tan無意義，即2×＋＝＋mπ，m∈Z，∴k＝m＋，m∈Z.
當m＝0時，k＝，滿足條件．
當m＝－1時，k＝－，滿足條件．
當m＝1時，k＝，不滿足條件．
故滿足條件的k＝或－.
答案：或－
8．(2019·常州調(diào)研)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的圖象與x軸的交點A，B，C滿足OA＋OC＝2OB，則φ＝________.
解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的圖象與x軸的交點坐標分別為A(x1,0)，B(x3,0)，C(x2,0)，
則
①－②得－x3＝3x1，
將x3＝－3x1代入②，得x2＝5x1，
所以T＝x2－x3＝8x1，所以ω＝＝，
故f(x)＝sin.
由圖象可知f(x1)＝0，所以sin＝0，
令＋φ＝kπ，k∈Z，
得φ＝kπ－，k∈Z.
又0＜φ＜π，所以φ＝.
答案：
9．(2019·宿遷中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝sin 3x＋cos 3x，x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值，并求出取得最值時x的值．
解：(1)f(x)＝sin 3x＋cos 3x
＝2
＝2sin.
由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得－≤x≤＋(k∈Z)，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴3x＋∈.
當3x＋＝－或，即x＝－或時，f(x)min＝－；
當3x＋＝，即x＝時，f(x)max＝2.
10．(2018·清江中學(xué)測試)已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解：(1)因為x∈，所以2x＋∈.
所以sin∈，
又因為a＞0，所以－2asin∈[－2a，a]，
所以f(x)∈[b,3a＋b]．
又因為－5≤f(x)≤1，所以b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)知a＝2，b＝－5，所以f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
所以4sin－1＞1，所以sin＞，
所以2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z.
當2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞增，
所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
當2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞減．
所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z.
綜上，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z.
三上臺階，自主選做志在沖刺名校
1．函數(shù)y＝tan(sin x)的值域為________．
解析：因為－1≤sin x≤1，所以sin x∈.又因為y＝tan x在上單調(diào)遞增，所以tan(－1)≤y≤tan 1，故函數(shù)的值域是[－tan 1，tan 1]．
答案：[－tan 1，tan 1]
2．(2018·揚州期末)已知函數(shù)f(x)＝sin(0≤x＜π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，則α＋β＝________.
解析：因為0≤x＜π，所以2x＋∈，所以由f(x)＝得2x＋＝或，解得x＝或，由于f(α)＝f(β)＝(α≠β)，所以α＋β＝＋＝.
答案：
3．(2019·揚州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝1＋cos 2x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若方程f(x)－m＝0在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)∵f(x)＝1＋cos 2x－2sin2
＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
∴T＝＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由題意知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上的圖象與直線y＝m有兩個不同的交點．
由(1)知，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f＝－2，
又f＝1，f(π)＝，
∴當－2＜m≤1時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上的圖象與直線y＝m有兩個不同的交點，
即方程f(x)－m＝0在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解．
∴實數(shù)m的取值范圍為(－2,1]．


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