二次函數(shù)y=ax2+k的圖像和性質(zhì)
這個函數(shù)的圖象是如何畫出來呢？
3. 能說出拋物線y=ax2+k的開口方向、對稱軸、頂點.
1. 會畫二次函數(shù)y=ax2+k的圖象.
2. 理解拋物線y=ax2與拋物線 y=ax2+k之間的聯(lián)系.
在同一直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的圖象.
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
二次函數(shù)y=ax2+k圖象的畫法
【思考】拋物線y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的開口方向、對稱軸、頂點各是什么？
二次函數(shù)y = ax2 +k的圖象的畫法
例1 在同一直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù) y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的圖象。
拋物線y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的開口方向、對稱軸和頂點各是什么？
二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)
1.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)(a＞0)
再描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象：
【想一想】通過觀察圖象，二次函數(shù)y=ax2+k(a＞0)的性質(zhì)是什么？
開口方向：向上對稱軸：x=0頂點坐標(biāo)：（0，k）最值：當(dāng)x=0時，有最小值，y=k增減性：當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小； 當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大.
二次函數(shù)y=ax2+k(a＞0)的性質(zhì)
2.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)(a＜0)
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列二次函數(shù)的圖象：
根據(jù)圖象回答下列問題:(1)圖象的形狀都是 . (2)三條拋物線的開口方向_______;(3)對稱軸都是__________(4) 從上而下頂點坐標(biāo)分別是 _____________________
(5)頂點都是最____點，函數(shù)都有最____值，從上而下最大值分別為_______、_______﹑________(6) 函數(shù)的增減性都相同： ____________________________________________________
對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大
對稱軸右側(cè)y隨x增大而減小
注意：k帶前面的符號！
二次函數(shù)y=ax2+k（a≠0）的性質(zhì)
例2 已知二次函數(shù)y＝ax2+c,當(dāng)x取x1，x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，則當(dāng)x＝x1+x2時，其函數(shù)值為________.
解析 由二次函數(shù)y＝ax2+c圖象的性質(zhì)可知，x1，x2關(guān)于y軸對稱，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函數(shù)表達(dá)式求出縱坐標(biāo)為c.
【方法總結(jié)】二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象關(guān)于y軸對稱，因此左右兩部分折疊可以重合，函數(shù)值相等的兩點的對應(yīng)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
二次函數(shù)y=ax2+k的性質(zhì)的應(yīng)用
拋物線y= ?2x2+3的頂點坐標(biāo)是 ,對稱軸是 ，在 側(cè)，y隨著x的增大而增大；在 側(cè)，y隨著x的增大而減小.
(x, )
(x, )
(x, )
二次函數(shù)y=ax2+k的圖象及平移
觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，把拋物線y=2x2 向 平移1個單位長度，就得到拋物線 ；把拋物線y=2x2 向 平移1個單位長度，就得到拋物線 y=2x2-1.
二次函數(shù)y=ax2+k的圖象可以由 y=ax2 的圖象平移得到：當(dāng)k > 0 時,向上平移 個單位長度得到.當(dāng)k < 0 時,向下平移 個單位長度得到.
上下平移規(guī)律： 平方項不變，常數(shù)項上加下減.
二次函數(shù)y=ax2 與y=ax2+k（a≠0）的圖象的關(guān)系
二次函數(shù)y＝－3x2＋1的圖象是將 (　　 )A．拋物線y＝－3x2向左平移3個單位得到 B．拋物線y＝－3x2向左平移1個單位得到 C．拋物線y＝3x2向上平移1個單位得到 D．拋物線y＝－3x2向上平移1個單位得到
解析 二次函數(shù)y＝－3x2＋1的圖象是將拋物線y＝－3x2向上平移1個單位得到的．
1.二次函數(shù)y=ax2+k圖象的畫法分幾步？
2.拋物線y=ax2+k 中的a決定什么？怎樣決定的？k決定什么？它的對稱軸是什么？頂點坐標(biāo)怎樣表示？
第一種方法：平移法，分兩步即第一步畫y=ax2的圖象；第二步把y=ax的圖象向上（或向下）平移︱k ︱單位.
第二種方法：描點法，分三步即列表、描點和連線.
a決定開口方向和大?。籯決定頂點的縱坐標(biāo).
將二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象向上平移3個單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 ．
1.拋物線 y=2x2 向下平移4個單位，就得到拋物線 ．　　
3.已知點（m,n)在y=ax2+a（a不為0）的圖象上 ，點 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不為0）的圖象上.4.若y=x2+（k-2）的頂點是原點，則k____；若頂點位于x軸上方，則k____；若頂點位于x軸下方，則k .
5.不畫函數(shù)y=-x2和y=-x2+1的圖象回答下面的問題：
（1）拋物線y=-x2+1經(jīng)過怎樣的平移才能得到拋物線y=-x2.
（2）函數(shù)y=-x2+1，當(dāng)x 時， y隨x的增大而減?。划?dāng)x 時，函數(shù)y有最大值，最大值y是 ，其圖象與y軸的交點坐標(biāo)是 ，與x軸的交點坐標(biāo)是 .
（3）試說出拋物線y=x2-3的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).
(-1,0),(1,0)
開口方向向上，對稱軸是y軸，頂點坐標(biāo)（0，-3）.
1.對于二次函數(shù)y=(m+1)xm2-m+3,當(dāng)x>0時y隨x的增大而增大，則m=____.2.已知二次函數(shù)y=(a-2)x2+a2-2的最高點為（0，2）， 則a=____.3.拋物線y=ax2+c與x軸交于A（-2,0）﹑B兩點，與y軸交于點C(0，-4),則三角形ABC的面積是_______.
1.開口方向由a的符號決定；2.k決定頂點位置；3.對稱軸是y軸.
二次函數(shù)y=ax2+k（a≠0)的圖象和性質(zhì)
增減性結(jié)合開口方向和對稱軸才能確定.
平移規(guī)律：k正向上；k負(fù)向下.
二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象和性質(zhì)
當(dāng)x0時，y隨x增大而增大.
當(dāng)x0時，y隨x增大而減小.
x=0時，y最小值=c
x=0時，y最大值=c
說說二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的特征.
二次函數(shù) y=ax2+k(a≠0)與 y=ax2(a ≠0) 的圖象有何關(guān)系？
答：二次函數(shù)y=ax2+k(a ≠ 0)的圖象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的圖象平移得到： 當(dāng)k > 0 時，向上平移 個單位長度得到. 當(dāng)k < 0 時，向下平移 個單位長度得到.
3. 能說出拋物線y=a(x-h)2的開口方向、對稱軸、頂點.
1.會畫二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象.
2. 理解拋物線y=ax2 與拋物線 y=a(x-h)2的聯(lián)系.
二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質(zhì)
根據(jù)所畫圖象，填寫下表：
【想一想】通過上述例子，函數(shù)y=a(x-h)2（a＞0）的性質(zhì)是什么？
當(dāng)x=0時，y最小值=0
當(dāng)x=2時，y最小值=0
當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小
當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小
二次函數(shù)y=a(x-h)2（a＞0）的圖象性質(zhì)
【試一試】畫出二次函數(shù) 的圖象，并說出它們的開口方向、對稱軸和頂點．
函數(shù)y=a(x-h)2（a＜0）的性質(zhì)（結(jié)合圖象）
【想一想】通過上述例子，函數(shù)y=a(x-h)2（a＜0）的性質(zhì)是什么？
二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖象性質(zhì)
當(dāng)x=h時，y最小值=0
當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而減?。粁＞h時，y隨x的增大而增大.
當(dāng)x=h時，y最大值=0
當(dāng)x＞h時，y隨x的增大而減小；x＜h時，y隨x的增大而增大.
二次函數(shù)y = a（x-h）2 的圖象和性質(zhì)
利用函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小時，首先確定函數(shù)的對稱軸，然后判斷所給點與對稱軸的位置關(guān)系，若同側(cè)，直接比較大??；若異側(cè)，先依對稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè)，再比較大小.
1.已知二次函數(shù)y=-(x+h)2,當(dāng)x-3時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=0時，y的值是（ ） A.-1 B.-9 C.1 D.9
二次函數(shù)y=ax2與y=a(x-h)2的關(guān)系
拋物線 ， 與拋物線 有什么關(guān)系？
可以看作互相平移得到.
左右平移規(guī)律： 括號內(nèi)左加右減；括號外不變.
當(dāng)向左平移 ︱h︱ 個單位時
當(dāng)向右平移 ︱h︱個單位 時
二次函數(shù)y=a（x-h)2的圖象與y=ax2 的圖象的關(guān)系
例2 拋物線y＝ax2向右平移3個單位后經(jīng)過點(－1，4)，求a的值和平移后的函數(shù)關(guān)系式．
解：二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右平移3個單位后的二次函數(shù)關(guān)系式可表示為y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，因此平移后二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ (x－3)2.
方法總結(jié)：根據(jù)拋物線左右平移的規(guī)律，向右平移3個單位后，a不變，括號內(nèi)應(yīng)“減去3”；若向左平移3個單位，括號內(nèi)應(yīng)“加上3”，即“左加右減”．
二次函數(shù)平移性質(zhì)的應(yīng)用
將二次函數(shù)y＝－2x2的圖象平移后，可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖象，平移的方法是(　　)A．向上平移1個單位　　B．向下平移1個單位 C．向左平移1個單位　　D．向右平移1個單位
解析 拋物線y＝－2x2的頂點坐標(biāo)是(0，0)，拋物線y＝－2(x＋1)2的頂點坐標(biāo)是(－1，0)．則由二次函數(shù)y＝－2x2的圖象向左平移1個單位即可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖象．
已知二次函數(shù)y=﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則h的值為（　 ）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
1. 把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個單位長度，那么平移后拋物線的解析式是 .2. 二次函數(shù)y=2(x- )2圖象的對稱軸是直線_______，頂點是________.3. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）為二次函數(shù)y=(x-2)2圖象上的三點，則y1 ，y2 ，y3的大小關(guān)系為_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
4.指出下列函數(shù)圖象的開口方向,對稱軸和頂點坐標(biāo).
在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝2x2與y＝2(x-2)2的圖象，分別指出兩個圖象之間的相互關(guān)系．
解：圖象如圖.函數(shù)y=2(x-2)2的圖象由函數(shù)y=2x2的圖象向右平移2個單位得到.
在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ (x-3)2的圖象．(1)指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)說明該函數(shù)圖象與二次函數(shù)y＝ x2的圖象的關(guān)系；(3)根據(jù)圖象說明，何時y隨x的增大而減小，何時y隨x的增大而增大，何時y有最大(小)值，是多少?
解：（1）開口向上，對稱軸為x=3，頂點坐標(biāo)為（3，0）.（3）當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=3時，y有最小值，為0.
探索y=a(x-h)2的圖象及性質(zhì)
a>0,開口向上a0時, 開口向上;
當(dāng)a0)[或向左(h0)[或向下(k

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