1.上節(jié)課我們已經(jīng)通過探索得到了勾股定理，請問勾股定理的內(nèi)容是什么？
2.如何驗證勾股定理呢 ？
1.掌握用面積法如何驗證勾股定理，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題．
2.經(jīng)歷勾股定理的驗證過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想.
問題思考 分別以直角三角形的三條邊的長度為邊長向外作正方形,你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎?你是如何做的?與同伴進行交流.
小明的證明思路如下圖，想一想：小明是怎樣對大正方形進行割補的？
你能將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表示出來嗎？
大正方形ABCD的面積可以表示為： 或者___________
可得等式
你能用右圖驗證勾股定理嗎？
所以a2+b2=c2 .
小正方形ABCD的面積可以表示為： 或者_______
所以a2 + b2 = c2
所以c2 = b2 + a2
畢達哥拉斯證法：請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.
所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
證明：因為S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab，
美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.
如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.
意大利文藝復(fù)興時代的著名畫家達·芬奇的證法
請同學(xué)們自己寫一下證明過程，相信你能行的！

勾股定理的驗證主要是通過拼圖法利用面積的關(guān)系完成的，拼圖又常以補拼法和疊合法兩種方式拼圖，補拼是要求無重疊，疊合是要求無空隙；而用面積法驗證的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形(如直角三角形、正方形、梯形)的面積之和等于整個圖形的面積，從而達到驗證的目的．
用四個邊長均為a，b，c的直角三角板，拼成如圖所示的圖形，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．c2＝a2＋b2 B．c2＝a2＋2ab＋b2 C．c2＝a2－2ab＋b2 D．c2＝(a＋b)2
例 我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察,發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀,測得汽車與他相距400m,10s后,汽車與他相距500m,你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎?
點B表示10s后汽車距小王500m
小王距離公路400m，所以∠C是直角
點A、B、C構(gòu)成直角三角形
即它行駛的速度為108 km/h.
總結(jié)：在實際問題中，可以根據(jù)問題中的條件構(gòu)造直角三角形，從而利用勾股定理來解答.
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敵方汽車10s行駛了300m,那么它1h行駛的距離為
300×6×60=108000(m),
飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4km處，過了20s，飛機距離這個男孩子頭頂5km，飛機每小時飛行多少千米？
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.
因為AB=5，AC=4,所以BC2=52-42.
所以BC2=9,所以BC=3，
答：飛機每小時飛行540km.
例 等腰三角形底邊上的高為8cm，周長為32cm，求這個三角形的面積.
解：設(shè)這個三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為xcm，則AB為（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
方法點撥：利用勾股定理解答幾何問題，經(jīng)常用到設(shè)未知數(shù)列方程的思想
答：這個三角形的面積為48cm2.
下列陰影部分是一個正方形，求此正方形的面積.
解：設(shè)正方形的邊長為x厘米 , 則
x2=172-152 =64
答：正方形的面積是64平方厘米.
議一議 判斷圖中三角形的三邊是否滿足a2+b2=c2.
銳角三角形：a2+b2 ＞ c2
鈍角三角形：a2+b2 ＜ c2
直角三角形：a2+b2=c2
提示：用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2.
（2019?咸寧）勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”．我國對勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，他用來證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會選它作為會徽．下列圖案中是“趙爽弦圖”的是（　　）A． B． C． D．
1．如圖，一個長為2.5 m的梯子，一端放在離墻腳 1.5 m處，另一端靠墻，則梯子頂端距離墻腳(　　) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
2．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長度為(　　)A．5 B．6 C．7 D．25
3．如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的 面積分別為3和4，則b的面積為(　　) A．16 B．12 C．9 D．7
4．兩棵樹之間的距離為8 m，兩棵樹的高度分別是8 m，2 m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多少米？
思路：先根據(jù)題意畫出圖形，然后添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理解答．
解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，兩棵樹的高度分別為AB＝8 m，CD＝2 m，兩棵樹之間的距離BD＝8 m，過點C作CE⊥AB，垂足為E，連接AC.則BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m.答：這只小鳥至少要飛10 m．
解：如圖，由圓的面積公式得 所以c2＝25，a2＝16.根據(jù)勾股定理，得b2＝c2－a2＝9.所以
一艘快艇以每小時12海里的速度離開A地，向西北方向航行，另一小船以每小時5海里的速度離開A地，同時出發(fā)向西南方向航行，求1小時后快艇與小船之間的距離.
思路提示：解題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)題意，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題（數(shù)形結(jié)合），運用所學(xué)新知識解決問題.或者說：畫出圖形，運用勾股定理.
解：根據(jù)題意，如圖，1小時后快艇在B處，小船在C處.且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=900
由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2即122+52=BC2所以BC=13 （海里）
答： 1小時后快艇與小船之間的距離為13海里.
首先通過拼圖找出面積之間的相等關(guān)系，再由面積之間的相等關(guān)系結(jié)合圖形進行代數(shù)變形即可推導(dǎo)出勾股定理．

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1 探索勾股定理

版本： 北師大版

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