1.定義： 經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做切線長．
①切線是直線，不能度量.
②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．
2.切線長與切線的區(qū)別
PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對折，設圓上與點A重合的點為B．
OB是⊙O的一條半徑嗎？
PB是⊙O的切線嗎？
（利用圖形軸對稱性解釋）
PA、PB有何關系？
∠APO和∠BPO有何關系？
切線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.
PA、PB分別切⊙O于A、B
注意： 切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.
拓展結論PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交⊙O于點D、E，交AB于C.
（1）寫出圖中所有的垂直關系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（3）寫出圖中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）寫出圖中所有的等腰三角形.
△ABP △AOB
（2）寫出圖中與∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
練一練 PA、PB是⊙O的兩條切線，A,B是切點，OA=3.
（1）若AP=4,則OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,則OP= .
★切線長問題輔助線添加方法
（3）連接圓心和圓外一點.
（1）分別連接圓心和切點；
一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，使截出的圓與三角形各邊都相切呢？
如何作圓，使它和已知三角形的各邊都相切？
已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.
作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O.2.過點O作OD⊥BC,垂足為D.3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.
1.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.
2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.
3.這個三角形叫做圓的外切三角形.
4.三角形的內(nèi)心就是三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點.
三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等.
⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點O是△ABC的內(nèi)心，△ABC是⊙O的外切三角形.
三角形三邊中垂線的交點
1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．
三角形三條角平分線的交點
1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．
△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的長.
設AF=xcm，則AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4 cm，BD=9 cm，CE=5 cm.
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？
方法小結：關鍵是熟練運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程.
如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓. 求Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑 r.
設AD= x , BE= y ,CE＝ r ,
∵ ⊙O與Rt△ABC的三邊都相切,
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD,
解：設Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結OD、OE、OF,則OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑 r＝
3.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點為A、B,∠P= 50 °，點C是⊙O上異于A、B的點，則∠ACB= .
65 °或115 °
4.△ABC的內(nèi)切圓⊙O與三邊分別切于D、E、F三點，如圖，已知AF=3,BD+CE=12,則△ABC的周長是 .
直角三角形的兩直角邊分別是3cm ,4cm,試問：（1）它的外接圓半徑是 cm;內(nèi)切圓半徑是 cm.
解：如圖，△ABC的外接圓直徑為AB,而由勾股定理可得AB=5cm,故外接圓半徑為2.5cm.連接AO,BO,CO.設△ABC的內(nèi)接圓半徑為r，由面積公式可得：S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC ,即 ，所以 ，代入數(shù)據(jù)得r=1cm.
方法小結：直角三角形的外接圓半徑等于斜邊長的一半，內(nèi)接圓半徑 .
（2）若移動點O的位置，使⊙O保持與△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r的取值范圍.
解：如圖所示，設與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點分別為B、D,連接OB、OD,則四邊形BODC為正方形.
∴半徑r的取值范圍為0＜r≤3.
提供了證線段和角相等的新方法
分別連接圓心和切點；連接兩切點；連接圓心和圓外一點.
運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程.

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24.2.2 直線和圓的位置關系

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