第2課時 二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+c的圖象與性質(zhì)


學(xué)習(xí)目標(biāo):


1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2和y=ax2＋c的圖象的作法和性質(zhì)的過程，進(jìn)一步獲得將表格、表達(dá)式、圖象三者聯(lián)系起來的經(jīng)驗．


2．會作出y=ax2和y=ax2＋c的圖象，并能比較它們與y=x2的異同，理解a與c對二次函數(shù)圖象的影響．


3．能說出y=ax2＋c與y=ax2圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．


4．體會二次函數(shù)是某些實際問題的數(shù)學(xué)模型．


學(xué)習(xí)重點(diǎn):


二次函數(shù)y=ax2、y=ax2＋c的圖象和性質(zhì)，因為它們的圖象和性質(zhì)是研究二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)．我們在學(xué)習(xí)時結(jié)合圖象分別從開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（小值）、函數(shù)的增減性幾個方面記憶分析．


學(xué)習(xí)難點(diǎn):


由函數(shù)圖象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性質(zhì)．函數(shù)圖象都由（1）列表，（2）描點(diǎn)、連線三步完成．我們可根據(jù)函數(shù)圖象來聯(lián)想函數(shù)性質(zhì)，由性質(zhì)來分析函數(shù)圖象的形狀和位置．


學(xué)習(xí)過程:


一、復(fù)習(xí)：


二次函數(shù)y=x2 與y=-x2的性質(zhì)：


二、問題引入：


你知道兩輛汽車在行駛時為什么要保持一定距離嗎？


剎車距離與什么因素有關(guān)？


有研究表明:汽車在某段公路上行駛時，速度為v(km/h)汽車的剎車距離s(m)可以由公式：


晴天時： SKIPIF 1 < 0 ；雨天時： SKIPIF 1 < 0 ，請分別畫出這兩個函數(shù)的圖像：














三、動手操作、探究：


1.在同一平面內(nèi)畫出函數(shù)y=2x2與y=2x2+1的圖象。

















2.在同一平面內(nèi)畫出函數(shù)y=3x2與y=3x2-1的圖象。比較它們的性質(zhì)，你可以得到什么結(jié)論？





四、例題：


已知拋物線y=（m＋1）x開口向下，求m的值．











【例2】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的圖象，并根據(jù)圖象回答問題：（1）當(dāng)x=2時，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）當(dāng)x=－2時，y=－x2比y=－3x2大（或?。┒嗌伲?br/>










【例3】有一座拋物線形拱橋，正常水位時，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達(dá)式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（m）時，橋下水面的寬度為d（m），求出將d表示為k的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)正常水位時橋下的水深為2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行．

















五、課后練習(xí)


1．拋物線y=－4x2－4的開口向 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，y= ．


2．拋物線y=－3x2上兩點(diǎn)A（x，－27），B（2，y），則x= ，y= ．


3．當(dāng)m= 時，拋物線y=（m＋1）x＋9開口向下，對稱軸是 ．在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而 ；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而 ．


4．拋物線y=3x2與直線y=kx＋3的交點(diǎn)為（2，b），則k= ，b= ．


5．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，且經(jīng)過點(diǎn)（－1，－2），則拋物線的表達(dá)式為．


6．在同一坐標(biāo)系中，圖象與y=2x2的圖象關(guān)于x軸對稱的是（ ）


A．y=x2B．y=－x2C．y=－2x2D．y=－x2


7．拋物線，y=4x2，y=－2x2的圖象，開口最大的是（ ）


A．y=x2B．y=4x2C．y=－2x2D．無法確定


8．對于拋物線y=x2和y=－x2在同一坐標(biāo)系里的位置，下列說法錯誤的是（ ）


A．兩條拋物線關(guān)于x軸對稱B．兩條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱


C．兩條拋物線關(guān)于y軸對稱D．兩條拋物線的交點(diǎn)為原點(diǎn)


9．二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=ax＋a在同一坐標(biāo)系中的圖象大致為（ ）


SKIPIF 1 < 0


10．已知函數(shù)y=ax2的圖象與直線y=－x＋4在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)和它與直線y=x在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)相同，則a的值為（ ）


A．4B．2C．D．


11．求符合下列條件的拋物線y=ax2的表達(dá)式：


（1）y=ax2經(jīng)過（1，2）；


（2）y=ax2與y=x2的開口大小相等，開口方向相反；


（3）y=ax2與直線y=x＋3交于點(diǎn)（2，m）．

















12.已知直線y=－2x＋3與拋物線y=ax2相交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，m）．


（1）求a、m的值；


（2）求拋物線的表達(dá)式及其對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；


（3）x取何值時，二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而減??；


（4）求A、B兩點(diǎn)及二次函數(shù)y=ax2的頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積．














13．如圖，直線ι經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，且與二次函數(shù)y=x2＋1的圖象，在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)C．求：


（1）△AOC的面積；


（2）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)與點(diǎn)A、B組成的三角形的面積．














14．有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位AB時寬20m．水位上升3m，就達(dá)到警戒線CD，這時，水面寬度為10m．


（1）在如圖2-3-9所示的坐標(biāo)系中求拋物線的表達(dá)式；


（2）若洪水到來時，水位以每小時0．2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？





拋物線
y=x2
y=-x2
對稱軸
頂點(diǎn)坐標(biāo)
開口方向
位置
增減性
最值

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級下冊電子課本

2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級下冊

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