第8講


講














確定二次的函數(shù)的表達(dá)式


























概述





【教學(xué)建議】


二次函數(shù)表達(dá)式的確定是中考中的必考內(nèi)容，一般是作為二次函數(shù)壓軸題的第一問來考的。在教學(xué)中，教師要把確定二次函數(shù)解析式的三種常見形式（一般式、頂點式、交點式）給學(xué)生講清來龍去脈，要讓學(xué)生知其然知其所以然，這樣在實際做題中才能避免不知如何選擇，套用哪種形式的問題。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時可能會在以下兩個方面感到困難：


1. 三種解析式的由來；


2. 設(shè)哪種解析式；


【知識導(dǎo)圖】











教學(xué)過程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


二次函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，屬于中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，也是難點內(nèi)容，而要想研究二次函數(shù)，必須首先知道二次函數(shù)的解析式，所以有關(guān)二次函數(shù)的壓軸題的第一問往往都是要根據(jù)題意來求二次函數(shù)的解析式。教師在教學(xué)中一定要重視這塊內(nèi)容，大家都知道，如果二次函數(shù)的解析式求錯了的話，就沒有必要往下做了，做了也得不到分。這就要求我們老師要強(qiáng)調(diào)，求二次函數(shù)解析式后，一定要用原有的點的坐標(biāo)代入你所求的二次函數(shù)的解析式，以檢驗所求的二次函數(shù)的解析式是否正確。





二、知識講解








知識點1 用一般式確定二次函數(shù)表達(dá)式











1.已知拋物線上的三點坐標(biāo)，可以設(shè)函數(shù)解析式為，代入后得到一個三元一次方程，解之即可得到的值，從而求出函數(shù)解析式，這種解析式叫一般式.


2.用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：


步驟一：設(shè)含有待定系數(shù)的二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)；


步驟二：將題設(shè)中滿足二次函數(shù)圖象的點代入所設(shè)表達(dá)式，得到關(guān)于待定系數(shù)a、b、c的方程組；


步驟三：解這個方程組，得到待定系數(shù)a、b、c的值；


步驟四：將待定系數(shù)的值代入表達(dá)式，得到所求函數(shù)表達(dá)式.





知識點2 用頂點式確定二次函數(shù)表達(dá)式








已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（h,k）的話，可以設(shè)成頂點式：y=a(x-h)2+k（a、h、k為常數(shù)且a≠0）


然后再找一點帶入二次函數(shù)的頂點式，即可求得a的值，最后回代到頂點式即可（提示：最后一般要把二次函數(shù)的解析式化成一般式）。





知識點3 用交點式確定二次函數(shù)表達(dá)式








如果知道拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為A（x1,0）和B（x2,0）兩點，這時可以設(shè)二次函數(shù)的解析式是，這種形式，我們稱為二次函數(shù)的交點式。


設(shè)出交點式后，只需再找出二次函數(shù)圖象上的一點，把它帶入二次函數(shù)的交點式，解方程即可求得a的值，最后回代到交點式即可（提示：最后一般要把二次函數(shù)的解析式化成一般式）。








三、例題精析








例題1





【題干】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,3)，(?3,0)，(2,?5)，且與x軸交于A、B兩點。


(1)試確定此二次函數(shù)的解析式；


(2)求出拋物線的頂點C的坐標(biāo)；


(3)判斷點P(?2,3)是否在這個二次函數(shù)的圖象上?如果在，請求出△PAB的面積；如果不在，試說明理由。


【答案】見解析


【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，


∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,3)，(?3,0)，(2,?5)，


所以，解得：


∴二次函數(shù)的解析式為：y=?x2?2x+3，


(2) C(?1,4)，


(3) S△PAB=12×4×3=6.





例題2





【題干】已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象頂點為(?2,3)，且過(?1,5)，則拋物線的表達(dá)式為______.


【答案】y=2x2+8x+11


【解析】設(shè)函數(shù)的解析式是：y=a(x+2)2+3，把(?1,5)，代入解析式得到a=2，


因而解析式是：y=2(x+2)2+3即y=2x2+8x+11.





例題3





【題干】拋物線y＝ax2＋bx＋c過(-3，0)，(1，0)兩點，與y軸的交點為(0，4)，則該拋物線的表達(dá)式為 ．


【答案】


【解析】采用待定系數(shù)法，將三點分別代入y＝ax2＋bx＋c中得：，解得


所以此拋物線的表達(dá)式為.








例題4





【題干】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：


（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；


（2）求y的最值；


【答案】見解析


【解析】（1）解法一：由于二次函數(shù)表達(dá)式為：y=ax2+bx+c，根據(jù)其表中信息，選取三點坐標(biāo)代入構(gòu)成方程組為：


，解得：a=1，b=-4，c=3.


所以該二次函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-4x+3.


解法二：觀察圖表數(shù)據(jù)，可知當(dāng)x=2時，y取最小值為-1，故x=2為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，且（2，-1）為該拋物線的頂點，因此可根據(jù)頂點式設(shè)拋物線為y=a(x-2)2-1，然后將任意一個非頂點坐標(biāo)（0，3）代入表達(dá)式中求得a=1，求得二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(x-2)2-1


（2）y=x2-4x+3=(x-2)2-1,故當(dāng)x=2時，y最小值為-1.








四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，重點放在二次函數(shù)解析式的三種求法上，先把這三種解析式設(shè)法的原理講清楚，然后再配以典型的例題，把例題講透，再給學(xué)生做針對性的練習(xí)。





基礎(chǔ)





1.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)x=2時，y有最大值4，且過(1，2)點，此拋物線的表達(dá)式為 .


【答案】


【解析】因為當(dāng)x=2時，y有最大值4，所以此拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,4），即可采用頂點式來求此拋物線的表達(dá)式，設(shè)此拋物線的表達(dá)式為，因為它過(1，2)點，所以，解得a=-2，則所求拋物線的表達(dá)式，即.





2.有一個二次函數(shù)，當(dāng)x＜-1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而減小；且當(dāng)x=-1時，y=3，它的圖象經(jīng)過點（2，0），請用頂點式求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.


【答案】見解析


【解析】由題意根據(jù)拋物線的增減性可知其對稱軸為x=-1，而當(dāng)x=-1時，y=3，故可知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（-1,3）,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)2+3，又∵拋物線過點（2,0），


將其代入表達(dá)式中得：0=9a+3，即a=.∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=(x+1)2+3=x2-x+.








3.有一個二次函數(shù)，當(dāng)x＜-1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而減?。磺耶?dāng)x=-1時，y=3，它的圖象經(jīng)過點（2，0），請用交點式求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.


【答案】見解析


【解析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性可知拋物線的對稱軸為x=-1，


而拋物線過點（2,0），根據(jù)其圖象對稱性，可知拋物線過點（-4,0），


故可根據(jù)交點式設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)(x+4).又∵拋物線過（-1,3），


∴3=a(-1-2)(-1+4).解得：a=.


∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=(x-2)(x+4)=x2-x+.





鞏固





1.由表格中的信息可知，若設(shè)y＝ax2＋bx＋c,則下列y與x之間的函數(shù)表達(dá)式正確的（ ）


A. y＝x2－x＋4 B. y＝x2－x＋6


C. y＝x2＋x＋4 D. y＝x2＋x＋6


【答案】C


【解析】當(dāng)x=－1時，(－1)2a=1,解得a=1；當(dāng)x=0時，c=4；當(dāng)x=1時，a+b+c=6,把a(bǔ)=1，c=4代入解得b=1；∴所求表達(dá)式為y＝x2＋x＋4.





2.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點為（-1，0），（3，0），其形狀與拋物線y=-2x2相同，則y=ax2+bx+c的函數(shù)表達(dá)式為_______________.


【答案】y=-2x2+4x+6


【解析】根據(jù)題意a=-2，所以設(shè)所求拋物線表達(dá)式為y=-2（x-x1）（x-x2），∴所求表達(dá)式為y=-2（x+1）（x-3），化為一般式為：y=-2x2+4x+6．


3.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（1，-2），該圖象與x軸的另一個交點為C，則AC長為_______.





【答案】3


【解析】∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（-1，0），（1，-2），∴1?b+c＝0，1+b+c＝?2，解得b＝?1，c＝?2，∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-x-2，對稱軸為x=由函數(shù)的對稱性可得C（2，0），∴AC=2-（-1）=3．








拔高





1.拋物線經(jīng)過點A(1,0)，B（5,0）.


（1）求這個拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；


（2）記拋物線的頂點為C,設(shè)D為拋物線上一點，求使S=3S時點D的坐標(biāo).


【答案】見解析


【解析】(1)因為拋物線經(jīng)過點A(1,0)，B（5,0），所以，解得，所以這個拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.


(2)將配方得：，頂點坐標(biāo)為（3，-2），即C（3，-2），則S==；所以S=，又因為S=，所以，即=6或=-6（舍去，因為此函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（3，-2），又因為開口向下，所以函數(shù)的最小值是-2，故舍去），，解得x=,故點D的坐標(biāo)為（，6）或（，6）.





2.如圖所示，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點M（1，-2），N（-1，6）


（1）求二次函數(shù)y=x2+bx+c的表達(dá)式；


（2）把Rt△ABC放在坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°點A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）,（4，0）BC=5,將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點C落在拋物線上時，求△ABC平移的距離.








【答案】見解析


【解析】（1）將M（1，-2），N（-1，6）代入y=x2+bx+c中得故b=-4，c=1.


所以此二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+1.


(2)在Rt△ABC中，因為BC=5，AC=3，所以AC=4,當(dāng)點C落在拋物線上時,求此時C的坐標(biāo)，也就是當(dāng)縱坐標(biāo)等于4,時，求其在軸正半軸上的橫坐標(biāo)，4=x2-4x+1,


解得：x=


所以△ABC平移的距離為：2+-1=1+。





3.如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M（-2，-4），與x軸交于A、B兩點，且A（-6，0），與y軸交于點C．


（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；


（2）求△ABC的面積。





【答案】見解析


【解析】（1）設(shè)此函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x+h）2+k，


∵函數(shù)圖象頂點為M（-2，-4），


∴y=a（x+2）2-4，


又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點A（-6，0），


∴0=a（-6+2）2-4


解得a=，


∴此函數(shù)的表達(dá)式為y=（x+2）2-4，


即y=x2+x-3；


（2）∵點C是函數(shù)y=x2+x-3的圖象與y軸的交點，


∴點C的坐標(biāo)是（0，-3），


根據(jù)點A（-6，0）和對稱軸為x=-2，由函數(shù)的對稱性可得點B的坐標(biāo)是（2，0），


則S△ABC=|AB|?|OC|=×8×3=12；











課堂小結(jié)





用一般式確定二次函數(shù)表達(dá)式的方法


一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)且a≠0）





用頂點式確定二次函數(shù)表達(dá)式的方法


頂點式：y=a(x-h)2+k（a、h、k為常數(shù)且a≠0），點（h,k）為頂點坐標(biāo)





3.用交點式確定二次函數(shù)表達(dá)式的方法


交點式：y=a(x-x1)(x-x2)（a、x1、x2為常數(shù)且a≠0）














拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 拋物線y＝ax2＋bx＋c過(0，0)，(12，0)，(6，3)三點，則此拋物線的表達(dá)式是 .





【答案】.


【解析】采用一般式代入計算即可求出。


2. 已知函數(shù)拋物線的頂點坐標(biāo)為(-3，-2)，且過點(1，6)，求此拋物線的解析式。





【答案】


【解析】采用頂點式，代入計算即可。


3.如圖1，拋物線的頂點A的坐標(biāo)為(1，4)，拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E(0，3)．


（1）求拋物線的表達(dá)式；


（2）已知點F(0，－3)，在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出點G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。








【答案】見解析


【解析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋4，把點E(0，3)代入得：a(0－1)2＋4＝3，解得，a＝－1，∴y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；（2）存在．點E關(guān)于對稱軸直線x＝1對稱的對稱點為E′(2，3)，設(shè)過E′F的直線表達(dá)式為y＝mx＋n，把E′、F兩點坐標(biāo)代入得，解得，所以直線E′F的表達(dá)式為y＝3x－3，把x＝1代入得，y＝0，因此點G的坐標(biāo)為(1，0)；








鞏固





1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,0)，且經(jīng)過點(4,1)，如圖，直線y= eq \f(1,4)x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y= –1.


求拋物線的解析式；


在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。





【答案】見解析


【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：，把點（4，1）代入，得：，∴；


（2）聯(lián)立，解得：，，∴A（1，），B（4，1）.


如圖，作點A關(guān)于y= –1的對稱點A′，易得A′的坐標(biāo)為（1，-），連接A′B，交l于點P，則P是所求的點。


設(shè)A′B的解析式為：，其經(jīng)過A′（1，-）和B（4，1）點，∴，解得：，∴，當(dāng)y= –1時，，P點的坐標(biāo)為（，-1）。





2.已知二次函數(shù)＝的圖象經(jīng)過A（0，3），B（－4，）兩點．


（1）求，的值；


（2）二次函數(shù)＝的圖象與軸是否存在公共點？若有求公共點的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．


【答案】見解析


【解析】（1）∵二次函數(shù)＝的圖象經(jīng)過A（0，3），B（－4，）兩點，


∴


解得＝，＝3．


（2）由（1）知，＝，＝3．


∴該二次函數(shù)為＝．


在＝中，當(dāng)＝0時，0＝，解得＝－2，＝8．


∴二次函數(shù)＝的圖象與軸有兩個公共點，分別為（－2，0），（8，0）．








3.如圖，經(jīng)過點A(0，-6)的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于B(-2，0)，C兩點．


（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點D的坐標(biāo)；


（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m(m＞0)個單位長度得到新拋物線y1，若新拋物線y1的頂點P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；








【答案】見解析


【解析】（1）將A（0，-6），B（-2，0）代入y=x2+bx+c，得，解得，所以y=x2-2x-6，所以y=(x-2)2-8，所以D（2，-8）．


（2）根據(jù)題意可得：y1=(x-2+1)2-8+m，


∴P（1，-8+m）.


∵在拋物線中易得．


∴直線為，當(dāng)時，，


∴，解得．





拔高





1.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，－3）．


（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；


（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．


①求線段PM的最大值；


②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．





【答案】見解析


【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x＋1）（x－3），


把點C（0，－3）代入，得：－3＝a（0＋1）（0－3），解得a＝1


∴二次函數(shù)解析式為y＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3．


（2）①設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋b，


將B（3，0），C（0，－3）代入，得EQ \B\lc\{(\a\al(0＝3k＋b,－3＝b))，解得EQ \B\lc\{(\a\al(k＝1,b＝－3))


∴直線BC的表達(dá)式為y＝x－3，


再設(shè)P點的坐標(biāo)為（m，m2－2m－3），由于PH⊥x軸于點H，


∴M的坐標(biāo)為（m，m－3）


∴PM＝（m－3）－（m2－2m－3）＝－m2＋3m


∵－1＜0，∴PM有最大值，


當(dāng)m＝EQ \F(3,2)時，PM最大＝EQ \F(0－3\S(2),4×(－1))＝EQ \F(9,4)


②設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，x2－2x－3），則M的坐標(biāo)為（x，x－3）


∴PM＝－x2＋3x


當(dāng)PM＝PC時，－x2＋3x＝EQ \R(,x\S(2)＋\b\bc\((\l(－3－\b\bc\((\l(x\S(2)－2x－3))))\s\up3(2))，解得x＝0或x＝2


由于x＝0不合題意，舍去，∴x＝2


此時，P點的坐標(biāo)為（2，－3）；


當(dāng)PM＝CM時，－x2＋3x＝EQ \R(,x\S(2)＋((x－3)－(－3))\s\up3(2))，解得x＝0，x＝5，x＝1


由于x＝0，x＝5不合題意，舍去，∴ x＝1


此時，P點的坐標(biāo)為（1，－4）


綜上所述，滿足條件的P點有兩個，其坐標(biāo)分別為（2，－3）或（1，－4）．





2.拋物線 經(jīng)過點A(，0)和點B(0，3)，且這個拋物線的對稱軸為直線l，頂點為C．


（1）求拋物線的解析式；


（2）連接AB、AC、BC，求△ABC的面積．











【答案】見解析


【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過A、B(0，3)


∴ ＝0


由上兩式解得


∴拋物線的解析式為：








（2）設(shè)線段AB所在直線為：


∵線段AB所在直線經(jīng)過點A(，0)、B(0，3)


拋物線的對稱軸l于直線AB交于點D


∴設(shè)點D的坐標(biāo)為D


將點D代入，解得m＝2


∴點D坐標(biāo)為 ∴CD＝CE－DE＝2


如上圖所示，過點B作BF⊥l于點F ∴BF＝OE＝


∵BF＋AE ＝ OE＋AE ＝OA＝


∴S△ABC＝S△BCD ＋S△ACD＝CD·BF＋CD·AE


∴S△ABC＝CD(BF＋AE)＝×2×＝





3.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點，，拋物線經(jīng)過點，將點向右平移5個單位長度，得到點．


（1）求點的坐標(biāo)；


（2）求拋物線的對稱軸；


（3）若拋物線與線段恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．


【答案】見解析


【解析】（1）解：∵直線與軸、軸交于、．


∴（，0），（0，4）


∴（5，4）


（2）解：拋物線過（，）


∴．





∴


∴對稱軸為．


（3）解：①當(dāng)拋物線過點時．





，解得．


②當(dāng)拋物線過點時．





，解得．


③當(dāng)拋物線頂點在上時．





此時頂點為（1，4）


∴，解得．


∴綜上所述或或．














教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初中三年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
1.用一般式確定二次函數(shù)表達(dá)式


2.用頂點式確定二次函數(shù)表達(dá)式


3.用交點式確定二次函數(shù)表達(dá)式
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次函數(shù)的表達(dá)式的確定方法


2.掌握用不同的表達(dá)式形式來求解.
教學(xué)重點
能熟練掌握二次函數(shù)的表達(dá)式的確定方法
教學(xué)難點
能熟練掌握二次函數(shù)的表達(dá)式的確定方法
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
x
－1
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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級下冊電子課本

3 確定二次函數(shù)的表達(dá)式

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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