【教學目標】


重點、難點


1、對數換底公式的推導和應用；（重點）


2、會用對數換底公式進行化簡與求值；（難點）


學科素養(yǎng)


1、通過對對數換底公式推導的學習，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)；


2、通過用對數換底公式進行化簡求值，培養(yǎng)數學運算素養(yǎng).


【知識清單】


換底公式及其推導





證明：設，則，兩邊取以a為底的對數，得


x,即


2、換底公式的應用


對數換底公式的作用在于“換底”，這是對數恒等變形中常用的工具，一般常換成以10為底.


常見結論


lgab·lgba＝


【基礎過關】


1、eq \f(lg49,lg43)的值為( )


A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(3,2) D．eq \f(9,2)


2、已知lg34·lg48·lg8m＝2，則m＝________


【經典例題】


題型一 利用換底公式化簡求值


例1、計算：（1）lg1627lg8132 （2）lg29·lg34








題型二 用已知對數表示其他對數


例2、若lg23＝a，lg52＝b，試用a，b表示lg245.








【課堂達標】


1．（lg29）?（lg34）等于（ ）


A．B．C．2D．4


2．設，則實數的值為（ ）


A．B．C．D．


3．已知,,則等于( )


A．B．C．D．


4．計算:( )


A．B．C．D．


5．若，則___________．


6．_________.


7、求的值.











8.求的值.














【能力提升】


1．設，，則（ ）


A．B．C．D．


2．若，則等于（ ）．


A．B．C．D．


3．已知且，則k的值為( )


A．15B．C．D．6


4．計算（ ）


A．3B．4C．5D．6


5．若lg2x?lg34?lg59=8，則x=


A．8B．25


C．16D．4


6．若，則（ ）


A．B．C．D．


7．（多選題）若，且，則下列等式中不正確的是（ ）


A． B．


C． D．


8．已知，，則__________（用含，的代數式表示）.


9．設,且,則______.


10.已知，試用a，b分別表示下列各式：


（1）；（2）；（3）．

















【參考答案】


【知識清單】


1、lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)


3、1


【基礎過關】


1．B


【解析】


【分析】


直接利用對數的運算性質，對選項進行逐一分析判斷即可.


【詳解】


eq \f(lg49,lg43)＝lg39＝2lg33＝2.


【點睛】


本題考查對數換底公式，屬簡單題.


2、9


【解析】


因為lg34·lg48·lg8m＝2，


所以eq \f(lg 4,lg 3)·eq \f(lg 8,lg 4)·eq \f(lg m,lg 8)＝2，化簡得lg m＝2lg 3＝lg 9.所以m＝9.


【經典例題】


（1）[解析]


lg1627lg8132＝eq \f(lg 27,lg 16)·eq \f(lg 32,lg 81)＝eq \f(lg 33,lg 24)·eq \f(lg 25,lg 34)＝eq \f(3lg 3,4lg 2)·eq \f(5lg 2,4lg 3)＝eq \f(15,16).


[解析]


[lg29·lg34＝2lg23·eq \f(lg24,lg23)


＝2lg24＝4lg22


＝4.]


[解析]


因為lg245＝lg2(5×9)＝lg25＋lg29＝lg25＋2lg23，而lg52＝b，則lg25＝eq \f(1,b)，


所以lg245＝2a＋eq \f(1,b)＝eq \f(2ab＋1,b).


[課堂達標]


1．D


【解析】


試題分析：利用換底公式、對數運算法則求解．


解：（lg29）?（lg34）


=


=


=4．


故選D．


考點：對數的運算性質．


2．B


【解析】


【分析】


由對數函數運算性質整理分子，即可求出答案.


【詳解】


由題可知，


故選：B


【點睛】


本題考查對數式的運算，屬于基礎題.


3．B


【解析】


【分析】


應用換底公式和對數的運算公式直接求解即可.


【詳解】


∵,∴.


故選：B


【點睛】


本題考查了換底公式，考查了對數的運算公式，考查了數學運算能力.


4．D


【解析】


【分析】


根據對數換底公式,化簡原式即可求得答案.


【詳解】








故選:D.


【點睛】


本題考查了對數的化簡求值,掌握對數換底公式是解題關鍵,考查了計算能力,屬于基礎題.


5．4


【解析】


【分析】


由對數的運算性質和對數的換底公式，化簡整理得，即可求解.


【詳解】


由對數的運算性質，可得


，


所以，所以，解得.


故答案為：4.


【點睛】


本題主要考查了對數的運算性質，以及對數的換底公式應用，其中解答中熟記對數的運算性質，合理利用對數的換底公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查推理與計算能力.


6．3


【解析】


【分析】


直接利用換底公式計算得到答案.


【詳解】


原式.


故答案為：.


【點睛】


本題考查了換底公式，意在考查學生的計算能力和轉化能力.


7、


【解析】


【分析】


首先根據題意得到原式，再利用換底公式化簡即可得到答案.


【詳解】


原式





【點睛】


本題主要考查對數的換地公式，同時考查對數的運算，屬于中檔題.


18


【解析】


【分析】


原式





【點睛】


本題主要考查對數的換底公式，同時考查指數、對數的互化公式，屬于中檔題.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


把換成以為底的對數，再利用對數的運算性質用表示即可.


【詳解】


∵，，∴．


故選：C．


【點睛】


本題考查對數的換底公式、對數的運算性質，注意根據題設條件中的對數的形式選擇合適的底的對數去表示目標對數，此類問題屬于基礎題.


2．D


【解析】


【分析】


利用換底公式以及對數的運算性質即可求解.


【詳解】


由，


則.


故選：D


【點睛】


本題考查了換底公式以及對數的運算性質，需熟記對數的運算法則，屬于基礎題.


3．C


【解析】


【分析】


由3m=2n=k，將指數式轉化為對數式得m=lg3k，n=lg2k，再代入，利用換底公式求解.


【詳解】


∵3m=2n=k，


∴m=lg3k，n=lg2k，


∴l(xiāng)gk6=2，


∴k2=6，


又


∴，


故選：C.


【點睛】


本題主要考查了指數與對數互化，換底公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.


4．A


【解析】


【分析】


先化簡，再結合換底公式即可求解


【詳解】





故選：A


【點睛】


本題考查對數的化簡求值，屬于基礎題


5．B


【解析】


【分析】


由換底公式將原式化為： =8，進而得到lgx=2lg5=lg25.


【詳解】


∵lg2x?lg34?lg59=8，∴ =8，∴l(xiāng)gx=2lg5=lg25，∴x=25．


故選B．


【點睛】


對數化簡的原則:（1）盡量將真數化為“底數”一致的形式；（2）將同底的多個對數的和（差）合成積（商）的對數；（3）將積（商）的對數分成若干個對數的和（差）．對數的換底公式:.


6．C


【解析】


【分析】


根據換底公式可統(tǒng)一為常用對數，即可化簡.


【詳解】


因為


，


而，


所以，故選C.


【點睛】


本題主要考查了換底公式，對數的性質，屬于中檔題.


7．AB


【解析】


【分析】


根據對數的運算法則成立的條件，即可逐項判斷出真假．


【詳解】


對于A，時， ，但是無意義，該等式不正確；


對于B，時， ，但是無意義，該等式不正確；


對于C，，按照對數的運算法則，該等式正確；


對于D，由換底公式得，，該等式正確．


故選AB．


【點睛】


本題主要考查對數的運算法則成立的條件判斷以及換底公式的應用．


8．


【解析】


【分析】


由換底公式，可得l，由此能夠準確地利用a，b表示lg36．


【詳解】


由換底公式，.


故答案為


【點睛】


本題考查換底公式的運用，解題時要注意公式的靈活運用．


9．


【解析】


【分析】


變換得到，，代入化簡得到，得到答案.


【詳解】


，則，，


故.


故答案為：.


【點睛】


本題考查了指數對數變換，換底公式，意在考查學生的計算能力.


10.（1）；（2）；（3）


【解析】


【分析】


（1）根據換底公式進行換底即可得到答案；


（2）根據換底公式和對數的運算性質即可得到答案；


（3）根據換底公式和對數的運算性質即可得到答案.


【詳解】


解：（1）；


（2）；


（3）


.


【點睛】


本題主要考查換底公式和對數的運算性質，考查學生的計算能力和公式的應用能力，屬于基礎題.























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2.2 換底公式

版本： 北師大版 (2019)

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