【素養(yǎng)目標(biāo)】1．能結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算抽象出對數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．能從教材實(shí)例中了解對數(shù)的相關(guān)概念，常用對數(shù)、自然對數(shù)．(數(shù)學(xué)抽象)3．能結(jié)合教材中的例題掌握指數(shù)與對數(shù)的互化、簡單的求值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中，利用實(shí)例使學(xué)生由指數(shù)式向?qū)?shù)式的轉(zhuǎn)化，從而引出對數(shù)的概念．學(xué)生應(yīng)由指數(shù)式與對數(shù)式的互化，提升運(yùn)算能力及邏輯推理能力．
　　　對數(shù)的概念(1)定義：一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù)，記作lgaN＝b，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．
(2)特殊對數(shù)：常用對數(shù)：以10為底，記作____________；自然對數(shù)：以e為底，記作____________．(3)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，ab＝N?________________．(4)對數(shù)恒等式：algaN＝N.
思考1：(1)式子lgmN中，底數(shù)m的范圍是什么？(2)對數(shù)式lgaN是不是lga與N的乘積？提示：(1)m＞0，且m≠1.(2)不是，lgaN是一個(gè)整體，是求冪指數(shù)的一種運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．
　　　 對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)．(2)lga1＝_____．(3)lgaa＝_____．
思考2：請你利用對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系證明(1)(2)(3)這三個(gè)結(jié)論．提示：(1)由lgaN＝x，得N＝ax，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，ax＞0，∴N＞0，∴負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)．(2)設(shè)lga1＝x(a＞0且a≠1)，則ax＝1，∴x＝0，即lga1＝0.(3)設(shè)lgaa＝x，則ax＝a，∴x＝1，即lgaa＝1.
1．將ab＝N化為對數(shù)式是(　　)A．lgba＝NB．lgaN＝bC．lgNb＝aD．lgNa＝b[解析]　根據(jù)對數(shù)定義知ab＝N?b＝lgaN，故選B．
3．對數(shù)式lga8＝3改寫成指數(shù)式為(　　)A．a(chǎn)8＝3B．3a＝8C．83＝aD．a(chǎn)3＝8[解析]　根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化可知，把lga8＝3化為指數(shù)式為a3＝8，故選D．
5．若ln e－2＝－x，則x＝_____．[解析]　由題意可知e－2＝e－x，故x＝2.
[歸納提升]　1.指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法技巧(1)指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．(2)對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．2．互化時(shí)應(yīng)注意的問題(1)利用對數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時(shí)，要注意字母的位置改變．(2)對數(shù)式的書寫要規(guī)范：底數(shù)a要寫在符號“l(fā)g”的右下角，真數(shù)正常表示．
　　　　求下列各式中的x：(1)lg3(lg2x)＝0；　　(2)lg3(lg7x)＝1；(3)lg(ln x)＝1； (4)lg(ln x)＝0.[分析]　利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化進(jìn)行解答．
[解析]　(1)由lg3(lg2x)＝0得lg2x＝1，∴x＝2.(2)lg3(lg7x)＝1，lg7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)lg (ln x)＝1，ln x＝10，∴x＝e10.(4)lg (ln x)＝0，ln x＝1，∴x＝e.
[歸納提升]　對數(shù)性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用(1)對數(shù)運(yùn)算時(shí)的常用性質(zhì)：lgaa＝1，lga1＝0.(2)使用對數(shù)的性質(zhì)時(shí)，有時(shí)需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運(yùn)用；對于多重對數(shù)符號的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對數(shù)的性質(zhì)．
[歸納提升]　運(yùn)用對數(shù)恒等式時(shí)注意事項(xiàng)(1)對于對數(shù)恒等式algaN＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對數(shù)形式；③其值為對數(shù)的真數(shù)．(2)對于指數(shù)中含有對數(shù)值的式子進(jìn)行化簡，應(yīng)充分考慮對數(shù)恒等式的應(yīng)用．
【對點(diǎn)練習(xí)】?　求下列各式的值：(1)5lg54；(2)3lg34－2；(3)24＋lg25.
1．下列說法：①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成為對數(shù)式；③以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；④以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)A．1B．2C．3D．4[解析]?、僬_；②底數(shù)小于0的指數(shù)式不可以化成對數(shù)式；③④正確，故選C．
2．在b＝lg(a－2)(5－a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．a(chǎn)＞5或a＞2B．2＞a＞3或3＞a＞5C．2＞a＞5D．3＞a＞4
3．若a2 021＝b(a＞0，且a≠1)，則(　　)A．lgab＝2 021B．lgba＝2 021C．lg2 021a＝bD．lg2 021b＝a[解析]　若a2 021＝b(a＞0且a≠1)，則2 021＝lgab.4．若lg2(lg3x)＝0，則x＝_____．[解析]　由題意得lg3x＝1，∴x＝3.

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1 指數(shù)函數(shù)的概念

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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