【教學目標】


重點、難點


1.掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．(重點)


2.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．(重點)


3.二次函數(shù)的性質的基本應用．(重點).


4、二次函數(shù)中a、b、c、 的取值對二次函數(shù)圖像的影響．(難點)


學科素養(yǎng)


通過對二次函數(shù)圖像的學習，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的素養(yǎng).


【知識清單】


1．二次函數(shù)的概念


閱讀教材，完成下列問題．


（1）形如____________________的函數(shù)叫做二次函數(shù)，它的定義域為___________。


（2）二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖像可由y=x2的圖像各點的______________坐標變?yōu)開______得到。


（3）二次函數(shù)y=a(x+h)2+k (a0)，a決定了二次函數(shù)圖像的___________，h決定了二次函數(shù)圖像的___________，而且“h正______平移，h負_________平移”；k決定了二次函數(shù)圖像的___________，而且“k正___________平移，k負__________平移”


2． 二次函數(shù)解析式的三種形式：


（1）一般式：


（2）頂點式：


（3）兩根式：


3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有如下性質：


(1)頂點坐標是( )。


(2)對稱軸是( )


(3)開口方向：當a＞0時，拋物線開口( )；當a＜0時，拋物線開口( )。


(4)最值：如果a＞0，函數(shù)有( )，當x＝－時，（ ）；如果a＜0，函數(shù)有( )，當x＝－時，（ ）。


(5)增減性(函數(shù)值y隨自變量x的變化規(guī)律)：


①a＞0時，當x＜－(在對稱軸左側)，y隨x的增大而( )；當x＞－(在對稱軸右側)，y隨x的增大而( )。


②a＜0時，當x＜－(在對稱軸左側)，y隨x的增大而( )，當x＞－(在對稱軸右側)，y隨x的增大而( )。


【基礎過關】


已知函數(shù)．


（1）拋物線的開口向 、對稱軸為直線 、頂點坐標 ；


（2）當 時，函數(shù)有最 值，是 ；


（3）當 時，隨的增大而增大；當 時，隨的增大而減小；


（4）該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的？








【經(jīng)典例題】


題型一 二次函數(shù)的概念


【例1】關于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）


A．圖像與軸的交點坐標為B．圖像的對稱軸在軸的右側


C．當時，的值隨值的增大而減小D．的最小值為-3


題型二 二次函數(shù)的圖像與性質


【例2】二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：


（1）m= ；（2）在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖象；





當時，x的取值范圍是 ；


當時，y的取值范圍是 ；


【課堂達標】


1．若對任何實數(shù)x，二次函數(shù)的值恒為負，那么a，c應滿足（ ）


A．且ac=B．且


C．且D．且


2．函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝ax＋b(ab≠0)的圖象只可能是( )


A． B． C． D．


3．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，且過點，則該二次函數(shù)的解析式為（ ）


A．B．


C．D．


4．已知二次函數(shù)滿足，則( )


A．B．C．2D．4


5．函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的值為_________.


6．已知,點都在二次函數(shù)的圖象上,的大小關系為__________ .


7．二次函數(shù)滿足，且有兩個實根、，等于 .


8．若函數(shù)的定義域是，則實數(shù)______.


9．已知二次函數(shù).


（1）畫出它的圖像并指出圖像的開口方向、頂點坐標；


（2）求函數(shù)在時的值域.





【能力提升】


1．若拋物線與軸有兩個不同的交點，則的取值范圍為（ ）


A．B．


C．且D．且


2．一元二次函數(shù)的圖像的頂點在原點的必要不充分條件是（ ）


A．B．C．D．


3．若二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點，則“”是“此函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）


A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件


4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）





A．B．C．D．


5．函數(shù)在上的最小值和最大值分別為（ ）.


A．-12，5B．-12，4C．-12，-4D．-14，6


6．（多選題）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，且，則下列結論中正確的說法是（ ）


A．當時，B．


C．當時，D．當時，


7．（多選題）下列關于二次函數(shù)的說法正確的是（ ）


A．，B．，，


C．，，D．，


E.，


8．（多選題）關于的方程，以下說法正確的是（ ）


A．當時，方程只有一個實數(shù)根


B．當時，方程有兩個相等的實數(shù)根


C．當時，方程沒有實數(shù)根


D．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根


9．已知,且,則的最大值為__________.


10．一元二次函數(shù)的頂點在軸上，則的值為 _____________ ；


11．將一元二次函數(shù)向右平移個單位，再向上平移個單位，得到的二次函數(shù)一般式為_______________.


12．已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，求二次函數(shù)的解析式．























13．已知一元二次函數(shù)的最大值為，其圖象的對稱軸為，且與軸兩個交點的橫坐標的平方和為.


（1）求該一元二次函數(shù)；


（2）要將該函數(shù)圖象的頂點平移到原點，請說出平移的方式.








【參考答案】


【知識清單】


(1)y=ax2+bx+c(a≠0) R； (2)縱坐標，原來的a倍；（3）開口方向，左右平移，向左，向右，上下平移，向上，向下


2.（1）y=ax2+bx+c(a≠0) （2）y=a(x+h)2+k (a0) （3）y=a(x-x1)(x-x2) (a0)


3.（1）（－，）（2）x=－（3）向上，向下（4）最小，，最大，（5）減小，增大；增大，減小


【基礎過關】


（1）下；；； （2）；大；； （3）；； （4）向左個，向上平移個單位.


【解析】


【分析】


（1），（2），（3）由于是二次函數(shù)，由此可以確定函數(shù)的圖象的形狀，根據(jù)二次項系數(shù)可以確定開口方向，根據(jù)拋物線的頂點式解析式可以確定其頂點的坐標，對稱軸及增減性；（4）根據(jù)左加右減，上加下減可得出答案．


【詳解】


解：由二次函數(shù)可得


（1）拋物線的開口方向向下，對稱軸為直線x=-2，頂點坐標為(-2，9)．


（2）當x=-2時，函數(shù)y有最大值，是9．


（3）當x＜-2時，函數(shù)y隨x的增大而增大，當x＞-2時，函數(shù)y隨x的增大而減小．


（4）函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移9個單位即可得到．


故答案為下 ； ；大；； ； 向左個，向上平移個單位．


【點睛】


本題主要考查了二次函數(shù)的性質與圖象的平移．掌握二次函數(shù)的頂點式對應的開口方向，對稱軸，頂點坐標是解題的關鍵．


【經(jīng)典例題】


例1、 D


【解析】


【分析】


根據(jù)二次函數(shù)的性質，對每個選項進行逐一分析判斷即可.


【詳解】


∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，


∴當x=0時，y=-1，故選項A錯誤，


該函數(shù)的對稱軸是直線x=-1，故選項B錯誤，


當x＜-1時，y隨x的增大而減小，故選項C錯誤，


當x=-1時，y取得最小值，此時y=-3，故選項D正確，


故選：D．


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的性質，屬基礎題.


例2、（1）0；（2）圖象見解析；（3）或（4）．


【解析】


【分析】


（1）先確定出對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性即可求得；


（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的畫法作出圖象即可；


（3）根據(jù)拋物線的對稱性，（-4，5）關于直線x=-1的對稱點是（2，5），根據(jù)圖象即可求得結論，


（4）根據(jù)函數(shù)圖象，寫y的取值范圍即可．


【詳解】


（1）由圖表，根據(jù)拋物線的對稱性，可知拋物線的頂點坐標為，


所以拋物線的對稱軸的方程為，


又由關于直線的對稱點是，所以.


（2）函數(shù)圖象如圖所示；





（3）因為關于直線x=-1的對稱點是，


由圖象可知當時，x的取值范圍是或，


即x的取值范圍是或.


（4）由圖表可知，當時，；時，；時，，


結合圖象可知當時，y的取值范圍是，


即y的取值范圍是.


【點睛】


此題考查二次函數(shù)的圖象與性質，以及二次函數(shù)性質的應用，其中解答中熟記二次函數(shù)的圖象與性質，正確作出二次函數(shù)的圖象是解答的關鍵，著重考查數(shù)形結合思想的應用，屬于基礎題.


[課堂達標]


1．C


【解析】


【分析】


根據(jù)二次函數(shù)的值恒為負值，結合二次函數(shù)圖象可得，圖象的開口向下，且與沒有交點，列出不等式可求得滿足的關系.


【詳解】


因為二次函數(shù)的值恒為負，進而可得，解得，，


故選:C.


【點睛】


本題考查一元二次函數(shù)與一元二次函數(shù)圖象的關系，考查了推理和運算能力，屬于基礎題.


2．D


【解析】


令， 的對稱軸為。根據(jù)圖象知，A選項 不對 ；B選項，若 成立，則，此時 圖象不對；C選項，若 成立，則 ，此時 圖象不對；D選項顯然是正確的，故選D.


【點睛】


本題解題的關鍵是：先確定一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定 的取值，再根據(jù) 的取值確定二次函數(shù)的開口方向和對稱軸，以判斷圖象的對錯.


3．C


【解析】


【分析】


由題設二次函數(shù)的頂點式，再把點代入，求出即可


【詳解】


設二次函數(shù)的解析式為，


將代入上式，得，


所以.


故選：C


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的解析式求法，屬于基礎題.


4．A


【解析】


【分析】


由二次函數(shù)的對稱性得對稱軸為，從而可列出的方程，即可得答案.


【詳解】


因為，所以函數(shù)的對稱軸為，


所以，解得：．


故選：A．


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的圖象特征，考查基本運算求解能力，屬于容易題.


5．


【解析】


【分析】


由函數(shù)有最小值，知，且當時，，求得.


【詳解】


由函數(shù)有最小值，知，且當時，，


則，得.


故答案為：


【點睛】


本題考查了二次函數(shù)的性質，屬于容易題.


6．


【解析】


【分析】


求得二次函數(shù)的單調區(qū)間，由此判斷的大小關系.


【詳解】


由于二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，故函數(shù)在上遞減，在上遞增.而，所以，故.故填：.


【點睛】


本小題主要考查二次函數(shù)的性質，考查函數(shù)的單調性比較大小，屬于基礎題.


7．6


【解析】


【分析】


由二次函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，得到二次函數(shù)的對稱軸為x=3，則兩個實數(shù)根的和為2x，從而求得結果.


【詳解】


∵二次函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，


∴二次函數(shù)y=f(x)的對稱軸為x=3，


∴二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點關于x=3對稱，即兩個交點的中點為3.


根據(jù)中點坐標公式得到f(x)=0的兩個實數(shù)根之和為.


故本題答案為6.


【點睛】


本題是一道有關二次函數(shù)對稱性質的題目，根據(jù)得到函數(shù)的對稱軸是解題的關鍵，屬基礎題.


8．


【解析】


【分析】


根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，結合二次函數(shù)的判別式為非負數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.


【詳解】


依題意在上恒成立，故，解得.


故填：.


【點睛】


本小題主要考查函數(shù)定義域，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于基礎題.


9．⑴開口向下；頂點；⑵


【解析】


【分析】


（1）算出函數(shù)圖像的頂點坐標、函數(shù)圖像與軸的交點坐標后可作出函數(shù)的圖像.


（2）根據(jù)函數(shù)的圖像可求其在上的值域.


【詳解】


（1），


故函數(shù)圖像的開口向下，頂點坐標為，與軸的交點坐標為，其圖像如圖所示：





（2）因為，結合函數(shù)的圖像可得函數(shù)的值域為.


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的圖像和性質以及二次函數(shù)在給定范圍上的值域，后者不能把區(qū)間的端點代入解析式求函數(shù)的值域，需要觀察對稱軸所對應的值是否在給定的范圍中.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


先根據(jù)是拋物線得，再根據(jù)其函數(shù)圖像與軸有兩個不同的交點得，即，兩者綜合即可得答案.


【詳解】


∵二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，


∴


∴ 解得，


∵拋物線為二次函數(shù)，


∴，


則的取值范圍為且.


故選：C.


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的零點問題，是基礎題.


2．D


【解析】


【分析】


一元二次函數(shù)的圖像的頂點在原點的充要條件為再利用定義法解決.


【詳解】


若一元二次函數(shù)的圖像的頂點在原點，則，且，所以頂點在


原點的充要條件是故A是充要條件，B、C既不充分也不必要，D是必要條件，非充分條件.


故選：D.


【點睛】


本題考查充分必要條件的應用，解決此類問題，通常有定義法、等價法、集合間的包含關系來判斷，本題是一道基礎題.


3．C


【解析】


【分析】


首先由已知條件判斷，再判斷是否為充要條件.


【詳解】


由題意可知


若，則，此時，滿足，是偶函數(shù)，


反過來，當函數(shù)是偶函數(shù)時，對稱軸是軸，所以，即


所以“”是“此函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件.


故選：C


【點睛】


本題考查充要條件的判斷，意在考查二次函數(shù)的系數(shù)和二次函數(shù)的性質的關系，屬于基礎題型.


4．D


【解析】


【分析】


先根據(jù)的圖象判斷的正負，再根據(jù)即可判斷與與的大小關系．


【詳解】


由題圖知，，


所以，


所以，即．


故選：D


【點睛】


本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，考查考生的識圖能力，分析問題、解決問題的能力．


5．B


【解析】


【分析】


根據(jù)題意求出函數(shù)的對稱軸為，開口朝下，判斷對稱軸內．


【詳解】


解：函數(shù)的對稱軸為，開口朝下


對稱軸內，


在處取得最大值為，


在處取得最小值為，


故選：．


【點睛】


本題主要考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)圖形特征，屬于基礎題．


6．ABD


【解析】


【分析】


取解一元二次方程可判斷A，由根的判別式可判斷B，由函數(shù)的圖象可判斷C、D．


【詳解】


解：當時，，∴，故A對；


方程化為，


由方程有兩個不等實根得，∴，故B對；


當時，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖，





由得，函數(shù)和函數(shù)的交點橫坐標分別為，由圖可知， ，故C錯，D對；


故選：ABD．


【點睛】


本題主要考查一元二次方程的解法以及二次函數(shù)的零點與方程的根之間的關系，屬于基礎題．


7．BD


【解析】


【分析】


根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質,可依次判斷五個選項.


【詳解】


二次函數(shù),開口向上,對稱軸為,最小值為.


對于A, 二次函數(shù),所以,錯誤,即A錯誤;


對于B, 二次函數(shù),所以,,正確,即B正確;


對于C, 二次函數(shù),所以,,錯誤,即C錯誤;


對于D,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知, ,正確,即D正確;


對于E, 二次函數(shù),所以,錯誤,即E錯誤.


綜上可知,正確的為BD


故選:BD


【點睛】


本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質,二次函數(shù)的最值,全稱命題與特稱命題真假的判斷,屬于基礎題.


8．AB


【解析】


【分析】


依據(jù)的取值，決定方程的類型，然后按照一元一次方程和一元二次方程的解的個數(shù)判斷方法即可判斷各選項的真假。


【詳解】


當時，方程化為，解得，此時方程只有一個實數(shù)根，A正確；


當時，方程化為，因為，所以此時方程有兩個相等的實數(shù)根，B正確；


當時，方程化為，因為，所以此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，C錯誤；


當時，方程化為，因為，所以此時方程無實數(shù)根，D錯誤. 故選AB.


【點睛】


本題主要考查利用根的判別式判斷一元二次方程解的個數(shù)。


9．


【解析】


【分析】


根據(jù)已知得，利用二次函數(shù)求最大值.


【詳解】


由題：,且,


則，


根據(jù)二次函數(shù)性質：當時，取得最大值，


最大值為.


故答案為：


【點睛】


此題考查根據(jù)已知條件求代數(shù)式的最值，形式簡單可以直接根據(jù)二次函數(shù)求解，也可以構造基本不等式求解.


10．或


【解析】


【分析】


由二次函數(shù)的頂點在軸上可得出，列出關于的方程，可解出實數(shù)的值.


【詳解】


由于二次函數(shù)的頂點在軸上，則該二次函數(shù)的圖象與軸相切，


所以，，整理得，解得或，


故答案為：或.


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的頂點坐標，將問題轉化為二次函數(shù)圖象與軸相切，可簡化計算，考查化歸與轉化數(shù)學思想，屬于中等題.


11．


【解析】


【分析】


先將二次函數(shù)的解析式表示為頂點式，結合圖象變換規(guī)律得出變換后的函數(shù)解析式，再化為一般形式即可.


【詳解】


將二次函數(shù)的解析式為，


將該函數(shù)的圖象向右平移個單位得，


再向上平移個單位得，


故答案為：.


【點睛】


本題考查二次函數(shù)的圖象變換后解析式的計算，解題時要結合每一步變換寫出相應的函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.


12．


【解析】


【分析】


設，由，且的最大值是8，列出方程組，求得的值，即可求解.


【詳解】


設，


因為，且的最大值是8，


則，解得，故所求二次函數(shù)為.


【點睛】


本題主要考查了二次函數(shù)解析式的求解，其中解答中熟記二次函數(shù)的解析式的形式，以及二次函數(shù)的性質，合理利用待定系數(shù)求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.


13．（1）；（2）見解析.


【解析】


【分析】


（1）利用已知條件設所求二次函數(shù)的解析式為，且，并設該二次函數(shù)與軸的兩個交點坐標分別為、，列出韋達定理，結合條件，可解出實數(shù)的值，從而可得出所求二次函數(shù)的解析式；


（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，結合圖象變換的規(guī)律可得出變換過程.


【詳解】


（1）二次函數(shù)的頂點為，設函數(shù)為，即.


由題意可知，.


設二次函數(shù)與軸兩個交點的橫坐標為、，即方程的兩根，


由韋達定理，.


又由，則，則有，解得.


所以二次函數(shù)，即；


（2）先將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)的圖象向下平移個單位，可得到函數(shù)的圖象.


【點睛】


本題考查二次函數(shù)解析式的求解，同時也考查了函數(shù)圖象變換，在求解二次函數(shù)的解析式時，要結合已知條件對二次函數(shù)解析式進行合理地設取，使得參數(shù)較少，另外在處理函數(shù)圖象變換時，應結合每一步變換得出函數(shù)的解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

















x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
…
…
5
0
-3
-4
-3
m
…

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高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.1 一元二次函數(shù)

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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