現(xiàn)準(zhǔn)備要圍成一個(gè)矩形花圃,花圃的一邊利用足夠長的墻,另外三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成,圍成的花圃是如圖所示的矩形ABCD,設(shè)AB邊的邊長為x米,問當(dāng)x取何值時(shí),矩形的面積最大?同學(xué)們這道題目不陌生吧,在初中我們學(xué)過了一元二次函數(shù),知道了其圖象為拋物線,并了解其圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等特征.本節(jié)我們將進(jìn)一步研究一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的平移,函數(shù)值的變化趨勢(shì),最大值或最小值等性質(zhì).
一、一元二次函數(shù)的圖象及其變換1.通常把一元二次函數(shù)的圖象叫作拋物線.2.一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象可以由y=ax2的圖象經(jīng)過向左(或向右)平移|h|個(gè)單位長度,再向上(或向下)平移|k|個(gè)單位長度而得到.名師點(diǎn)析一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0),a決定了一元二次函數(shù)圖象的開口大小及方向;h決定了一元二次函數(shù)圖象的左右平移,而且“h正右移,h負(fù)左移”;k決定了一元二次函數(shù)圖象的上下平移,而且“k正上移,k負(fù)下移”.簡(jiǎn)記為“左加右減,上加下減”.
微練習(xí)將一元二次函數(shù)y=-2x2的頂點(diǎn)移到(-3,2)后,得到的新函數(shù)的解析式為　　　　　　　.
解析:可設(shè)新函數(shù)的解析式為y=a(x-h)2+k,由平移規(guī)律知h=-3,k=2,因?yàn)樾螤钆c開口不變,故a=-2.所以新函數(shù)的解析式為y=-2(x+3)2+2.
答案:y=-2(x+3)2+2
二、一元二次函數(shù)的性質(zhì)一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的性質(zhì)如下:
一元二次函數(shù)圖象的平移變換例1拋物線y=2(x-1)2+3可以看作是由拋物線y=2x2經(jīng)過以下哪種變換得到的(　　)A.向左平移1個(gè)單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度B.向右平移1個(gè)單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度C.向左平移1個(gè)單位長度,再向下平移3個(gè)單位長度D.向右平移1個(gè)單位長度,再向下平移3個(gè)單位長度
答案:B　解析:∵拋物線y=2(x-1)2+3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),拋物線y=2x2頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),∴拋物線y=2(x-1)2+3可以看作由拋物線y=2x2向右平移1個(gè)單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度得到的.
反思感悟一元二次函數(shù)圖象平移問題的解題策略(1)要注意平移的方向,即由哪個(gè)函數(shù)變換到另一個(gè)函數(shù);(2)將函數(shù)化為y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式;(3)判定h與k的正負(fù),利用“左加右減,上加下減”的規(guī)則判定平移的方向和大小.
一元二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)求函數(shù)y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.(2)在區(qū)間[2,3]上,求函數(shù)y=x2-3x-7的最大值與最小值.
反思感悟求一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法一看開口方向;二看對(duì)稱軸和區(qū)間的相對(duì)位置,簡(jiǎn)稱“兩看法”.只需作出二次函數(shù)相關(guān)的部分簡(jiǎn)圖,利用數(shù)形結(jié)合法就可以得到問題的解.
延伸探究在區(qū)間[-1,3]上,求函數(shù)y=x2-3x-7的最大值與最小值.
2.當(dāng)自變量x的取值范圍為閉區(qū)間[m,n]時(shí),其最值在m,n,- 三者所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值中取得,最值情況如下:當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,
①若- ∈[m,n](如下圖①,②),頂點(diǎn)取最小值,離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)點(diǎn)處取得最大值.②若- ?[m,n](如下圖③,④),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào),較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最大值,較近端點(diǎn)處取得最小值.
當(dāng)a

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

4.1 一元二次函數(shù)

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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