1.理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.（重點）2.掌握相似三角形的周長比、面積比在實際中的應用.（難點）
問題：我們知道，如果兩個三角形相似，它們對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.那么它們周長的比之間有什么關(guān)系？也等于相似比嗎？面積之比呢？
問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,它們都相似嗎？
(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的周長比=______，(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的周長比=______.
結(jié)論： 相似三角形的周長比等于______．
證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，
求證：相似三角形的周長比等于相似比.
想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？
(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的面積比=______(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的面積比=______
問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,回答以下問題：
結(jié)論： 相似三角形的面積比等于__________．
證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,
如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.
1.已知ΔABC與ΔA′B′C′的相似比為2：3，則對 應邊上中線之比 ，面積之比為 . 2. 如果兩個相似三角形的面積之比為1:9， 周長的比為______ .
例1：將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分的面積是△ABC的面積的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距離. 　
解：根據(jù)題意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
即，△ABC平移的距離為
解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比為 1 : 2.
如果兩個相似三角形的面積之比為 2 : 7，較大三角形一邊上的高為 7，則較小三角形對應邊上的高為______.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它們的相似比為 3 : 5，∴ 面積比為 9 : 25.
又∵ △ABC 的面積為 100 cm2，
∴ △ADE 的面積為 36 cm2 .
∴ 四邊形 BCDE 的面積為100－36 = 64 (cm2).
如圖，△ABC 中，點 D、E、F 分別在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 當 D 點為 AB 中點時，求 S四邊形BFED : S△ABC 的值.
解：∵ DE∥BC，D 為 AB 中點， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 相似比為 1 : 2， 面積比為 1 : 4.
又∵ EF∥AB，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比為 1 : 2，面積比為 1 : 4.設(shè) S△ABC = 4，則 S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四邊形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，∴ S四邊形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判斷： (1) 一個三角形的各邊長擴大為原來的 5 倍，這個 三角形的周長也擴大為原來的 5 倍 ( ) (2) 一個四邊形的各邊長擴大為原來的 9 倍，這個 四邊形的面積也擴大為原來的 9 倍 ( )
3. 連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個 小三角形與原三角形的周長比等于______，面積 比等于_____.
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF， ∠A＝∠D，AP，DQ 是中線，若 AP＝2，則 DQ 的值為 ( ) A．2 B．4 C．1 D.
4. 兩個相似三角形對應的中線長分別是 6 cm 和 18 cm， 若較大三角形的周長是 42 cm，面積是 12 cm2，則 較小三角形的周長____cm，面積為____cm2.
5. 如圖，這是圓桌正上方的燈泡 (點A) 發(fā)出的光線照 射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為 1.2 米，桌面距離地面為 1 米，若燈泡距離地面 3 米， 則地面上陰影部分的面積約為多少 (結(jié)果保留兩位 小數(shù))？
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直徑為 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米)， DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH， ∴△ADF ∽△ACH，
解得 CH = 0.9米.∴ 陰影部分的面積為：
答：地面上陰影部分的面積為 2.54 平方米.
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面積分別為 4 和 9，求 △ABC 的面積.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，∴△ADE ∽△EFC.又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，則 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
7. 如圖，△ABC 中，DE∥BC，DE 分別交 AB、AC 于 點 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
解：過點 D 作 AC 的垂線，交點為 F，則
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.

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7 相似三角形的性質(zhì)

版本： 北師大版

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