高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

5.6 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)

在物理中，簡諧運動中單擺對平衡的位移y與時間x的關(guān)系、交流電的電流y與時間x的關(guān)系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)．如圖(1)所示是某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖象．

(1) (2)

將測得的圖象放大如圖(2)所示，可以看出它和正弦曲線很相似．那么函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與函數(shù)y＝sin x有什么關(guān)系呢？

問題：(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分別受哪些量的影響？

(2)如何做出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象？

提示：(1)在函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)中最值受A的影響，最大值為|A|，周期受ω的影響，T＝eq \f(2π,|ω|).

(2)方法一：五點作圖法．方法二：圖象的變換．

1．φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響

2．ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響

3．A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)y＝sin 3x的圖象向左平移eq \f(π,4)個單位所得圖象的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).( )

(2)y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?倍所得圖象的解析式是y＝sin 2x.( )

(3)y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?倍所得圖象的解析式是y＝eq \f(1,2)sin x．( )

[提示] (1)錯誤．y＝sin 3x的圖象向左平移eq \f(π,4)個單位得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(3,4)π)).

(2)錯誤．y＝sin 2x應(yīng)改為y＝sineq \f(1,2)x.

(3)錯誤．y＝eq \f(1,2)sin x應(yīng)改為y＝2sin x.

[答案] (1)× (2)× (3)×

2．把函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移eq \f(π,3)個單位長度后所得圖象的解析式為( )

A．y＝sin x－eq \f(π,3) B．y＝sin x＋eq \f(π,3)

C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))

D [根據(jù)圖象變換的方法，y＝sin x的圖象向左平移eq \f(π,3)個單位長度后得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的圖象．]

3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值為5，則A＝ .

4 [由已知得A＋1＝5，故A＝4.]

【例1】 (1)將函數(shù)y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象向左平移eq \f(π,3)個單位長度，再向下平移3個單位長度，則所得圖象的解析式為．

(2)將y＝sin x的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的圖象？

[思路點撥] (1)依據(jù)左加右減；上加下減的規(guī)則寫出解析式．

(2)法一：y＝sin x→縱坐標(biāo)伸縮→橫坐標(biāo)伸縮和平移→向上平移．

法二：左右平移→橫坐標(biāo)伸縮→縱坐標(biāo)伸縮→上下平移．

(1)y＝－eq \r(2)cs 2x－3 [y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象向左平移eq \f(π,3)個單位長度，

得y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq \r(2)cs(2x＋π)＝－eq \r(2)cs 2x，

再向下平移3個單位長度得y＝－eq \r(2)cs 2x－3的圖象．]

(2)[解] 法一：(先伸縮法)①把y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)＝2sin x的圖象；②將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(1,2)倍，得y＝2sin 2x的圖象；③將所得圖象沿x軸向左平移eq \f(π,8)個單位，得y＝2sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))的圖象；

④將所得圖象沿y軸向上平移1個單位，

得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的圖象．

法二：(先平移法)①將y＝sin x的圖象沿x軸向左平移eq \f(π,4)個單位，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的圖象；②將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(1,2)倍，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖象；③把所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來2倍，得到y(tǒng)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖象；④將所得圖象沿y軸向上平移1個單位，得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的圖象．

由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin?ωx＋φ??A＞0，ω＞0?的圖象，其變化途徑有兩條：

提醒：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：?1?是先相位變換后周期變換，平移|φ|個單位.?2?是先周期變換后相位變換，平移eq \f(|φ|,ω)個單位，這是很易出錯的地方，應(yīng)特別注意.

eq \([跟進訓(xùn)練])

1．(1)要得到y(tǒng)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的圖象，只要將y＝sin 2x的圖象( )

A．向左平移eq \f(π,8)個單位B．向右平移eq \f(π,8)個單位

C．向左平移eq \f(π,4)個單位 D．向右平移eq \f(π,4)個單位

(2)把函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點向右平移eq \f(π,6)個單位，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把縱坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(2,3)倍，所得圖象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，則f(x)的解析式是( )

A．f(x)＝3cs x B．f(x)＝3sin x

C．f(x)＝3cs x＋3 D．f(x)＝sin 3x

(1)A (2)A [(1)因為y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))

＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))

＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))，

所以將y＝sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,8)個單位，

得到y(tǒng)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的圖象．

(2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(――――――→,\s\up7(縱坐標(biāo)伸長),\s\d14(到原來的\f(3,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))

eq \(――――――→,\s\up7(橫坐標(biāo)縮短),\s\d14(到原來的\f(1,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))

＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))

＝3cs x．]

【例2】 (1)已知函數(shù)f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為( )

A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4

C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2

(2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，且圖象如圖所示，求其解析式．

[思路點撥] 由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊點坐標(biāo)解方程求φ.

(1)A [由函數(shù)f(x)的最大值和最小值得

A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，

函數(shù)f(x)的周期為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，

所以ω＝eq \f(1,2)，又因為點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，6))在函數(shù)f(x)的圖象上．

所以6＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝1，

所以eq \f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq \f(π,2)，

所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.]

(2)[解] 法一：(五點作圖原理法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，根據(jù)五點作圖原理(可判為“五點法”中的第一點)－eq \f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq \f(π,3)，

所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).

法二：(方程法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，

又圖象過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，

所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，

所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq \f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因為|φ|＜eq \f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).

法三：(變換法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移eq \f(π,6)個單位而得到的，解析式為f(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).

確定函數(shù)y＝Asin?ωx＋φ?的解析式的關(guān)鍵是φ的確定，常用方法有：

?1?代入法：把圖象上的一個已知點代入?此時A，ω已知?或代入圖象與x軸的交點求解?此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上?.

?2?五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口.“五點”的ωx＋φ的值具體如下：

“第一點”?即圖象上升時與x軸的交點?為ωx＋φ＝0；

“第二點”?即圖象的“峰點”?為；

“第三點”?即圖象下降時與x軸的交點?為ωx＋φ＝π；

“第四點”?即圖象的“谷點”?為；,“第五點”為ωx＋φ＝2π.

eq \([跟進訓(xùn)練])

2．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點的距離為eq \f(π,2)，且圖象上一個最低點為Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．

[解] 由最低點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.

在x軸上兩相鄰交點之間的距離為eq \f(π,2)，故eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，

即T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.

由點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在圖象上得

2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，

∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，

∴φ＝eq \f(π,6).故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).

[探究問題]

1．如何求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acs(ωx＋φ)的對稱軸方程？

提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)y＝Asin(ωeq \x(x)＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的圖象的對稱軸通過函數(shù)圖象的最值點且垂直于x軸．

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)對稱軸方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，則x＝eq \f(?2k＋1?π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸方程為x＝eq \f(?2k＋1?π－2φ,2ω)(k∈Z)；

函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)對稱軸方程的求法：令cs(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)的圖象的對稱軸方程為x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)．

2．如何求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acs(ωx＋φ)的對稱中心？

提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)圖象的對稱中心即函數(shù)圖象與x軸的交點．

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)對稱中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，則x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)成中心對稱；

函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)對稱中心的求法：令cs(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，則x＝eq \f(?2k＋1?π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(?2k＋1?π－2φ,2ω)，0))(k∈Z)成中心對稱．

【例3】 (1)已知函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，則ω＝( )

A.eq \f(2,3) B．eq \f(14,3)

C.eq \f(26,3) D．eq \f(38,3)

(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))對稱，且在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．

[思路點撥] (1)先由題目條件分析函數(shù)f(x)圖象的對稱性，何時取到最小值，再列方程求ω的值．

(2)先由奇偶性求φ，再由圖象的對稱性和單調(diào)性求ω.

(1)B [因為feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以直線x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq \f(π,4)是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，

又因為f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，

所以當(dāng)x＝eq \f(π,4)時，f(x)取得最小值．

所以eq \f(π,4)ω＋eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq \f(10,3)，(k∈Z)

又因為T＝eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，所以ω≤12，又因為ω＞0，

所以k＝1，即ω＝8－eq \f(10,3)＝eq \f(14,3).]

(2)[解] 由f(x)是偶函數(shù)，得f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

∴f(x)在x＝0時取得最值，

即sin φ＝1或－1.

依題設(shè)0≤φ＜π，∴解得φ＝eq \f(π,2).

由f(x)的圖象關(guān)于點M對稱，可知，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq \f(3π,4)ω＋eq \f(π,2)＝kπ，解得ω＝eq \f(4k,3)－eq \f(2,3)，k∈Z.

又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)，所以T≥π，即eq \f(2π,ω)≥π.

∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1時，ω＝eq \f(2,3)；k＝2時，ω＝2.

故φ＝eq \f(π,2)，ω＝2或eq \f(2,3).

1．將本例(2)中“偶”改為“奇”，“其圖象關(guān)于點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))對稱，且在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)”改為“在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))上為增函數(shù)”，試求ω的最大值．

[解] 因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.

因為f(x)＝sin ωx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))上是增函數(shù)．

所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))?eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))，

于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＞0，,－\f(3π,2)≥－\f(π,2ω),\f(π,2)≤\f(π,2ω)，))，

解得0＜ω≤eq \f(1,3)，

所以ω的最大值為eq \f(1,3).

2．本例(2)中增加條件“ω＞1”，求函數(shù)y＝f2(x)＋sin 2x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,8)))的最大值．

[解] 由條件知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，

由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,8)))得2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，

sin 2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，

y＝f2(x)＋sin 2x＝cs22x＋sin 2x＝1－sin22x＋sin 2x＝－(sin 2x－eq \f(1,2))2＋eq \f(5,4).

所以當(dāng)sin 2x＝eq \f(1,2)時ymax＝eq \f(5,4).

1．正弦余弦型函數(shù)奇偶性的判斷方法

正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)不一定具備奇偶性．對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)時為偶函數(shù)；對于函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)時為奇函數(shù)．

2．與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧

(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．

(2)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將ωx＋φ看作一個整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求y＝Asin z的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若ω＜0，則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間．

1．準(zhǔn)確理解3種變換

(1)由y＝sin x到y(tǒng)＝sin (x＋φ)的圖象變換稱為相位變換；由y＝sin x到y(tǒng)＝sin ωx圖象的變換稱為周期變換；由y＝sin x到y(tǒng)＝Asin x圖象的變換稱為振幅變換．

(2)由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)的圖象，其變換途徑有兩條，注意兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：①是先相位變換后周期變換，平移|φ|個單位．②是先周期變換后相位變換，平移eq \f(|φ|,ω)個單位，這是很易出錯的地方，應(yīng)特別注意．

2．規(guī)避1個誤區(qū)

先平移變換與先伸縮變換作圖時平移的量不一樣．

1．要得到y(tǒng)＝tan x的圖象，只需把y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的圖象( )

A．向左平移eq \f(π,6)個單位B．向左平移eq \f(π,12)個單位

C．向右平移eq \f(π,12)個單位 D．向右平移eq \f(π,6)個單位

[答案] D

2．函數(shù)y＝cs x圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的解析式為y＝cs ωx，則ω的值為．

eq \f(1,2) [函數(shù)y＝cs xeq \f(縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)?原來的2倍)y＝cseq \f(1,2)x.所以ω＝eq \f(1,2).]

3．由y＝3sin x的圖象變換到y(tǒng)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的圖象主要有兩個過程：先平移后伸縮和先伸縮后平移，前者需向左平移個單位，后者需向左平移個單位．

4．已知函數(shù)f(x)的圖象上每一點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，然后把所得的圖象沿x軸向左平移eq \f(π,2)個單位長度，這樣得到的圖象與y＝eq \f(1,2)sin x的圖象相同，則f(x)的解析式為．

5．已知函數(shù)f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3(x∈R)，用圖象變換法畫出它在一個周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象．

[解]

學(xué) 習(xí) 目標(biāo)
核心素養(yǎng)
1.理解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響；能夠?qū)＝sin x的圖象進行變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象．(難點)

2.能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式．(重點)

3.求函數(shù)解析式時φ值的確定．(易錯點)
1. 通過函數(shù)圖象的變換，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

2. 借助函數(shù)的圖象求解析式，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
三角函數(shù)圖象之間的變換
已知函數(shù)圖象求解析式
三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

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