人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第五章 三角函數(shù)5.5 三角恒等變換第4課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第五章 三角函數(shù)5.5 三角恒等變換第4課時(shí)導(dǎo)學(xué)案，共11頁。
第4課時(shí) 二倍角的正弦、余弦、正切公式








問題：(1)在兩角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，將得到怎樣的結(jié)果？


(2)上述cs 2α的式子能否變成只含有sin α或cs α形式的式子呢？


提示：(1)sin(α＋α)＝sin αcs α＋cs αsin α，cs(α＋α)＝cs αcs α－sin αsin α，tan(α＋α)＝eq \f(tan α＋tan α,1－tan2α)，即sin 2α＝2sin αcs α，cs 2α＝cs2α－sin2α，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).


(2)根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式可得cs 2α＝2cs2 α－1＝1－2sin2α.





1．二倍角的正弦、余弦、正切公式


2.余弦的二倍角公式的變形





3．正弦的二倍角公式的變形


(1)sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α).


(2)1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)


(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．


( )


(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )


(3)對(duì)于任意的角α，cs 2α＝2cs α都不成立．( )


[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式對(duì)任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)且α≠±eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)，故此說法錯(cuò)誤．


(2)√.當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時(shí)，sin 2α＝2sin α.


(3)×.當(dāng)cs α＝eq \f(1－\r(3),2)時(shí)，cs 2α＝2cs α.


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．sin 15°cs 15°＝ .


eq \f(1,4) [sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)×2sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4).]


3.eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)＝ .


－eq \f(\r(2),4) [eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2)－eq \f(1＋cs\f(π,4),2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),4).]


4．已知tan 2α＝eq \f(1,3)，則tan α＝ .


－3±eq \r(10) [∵tan 2α＝eq \f(1,3)，∴eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(1,3)


∴1－tan2α＝6tan α，解得tan α＝－3±eq \r(10).]








【例1】 (1)cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值為( )


A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)


C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)


(2)求下列各式的值：


①cs415°－sin415°；②1－2sin275°；③eq \f(1－tan275°,tan 75°)；


④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°).


(1)D [∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，


∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).]


(2)[解] ①cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)·(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).


②1－2sin275°＝1－(1－cs 150°)＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).


③eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)


＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).


④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)


＝eq \f(4?sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°?,2sin 10°cs 10°)


＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.





對(duì)于給角求值問題，一般有兩類：


?1?直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.


?2?若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．求下列各式的值


(1)cs 72°cs 36°；


(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).


[解] (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).


(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)


＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.


【例2】 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；


(2)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，求α.


[思路點(diǎn)撥] 依據(jù)以下角的關(guān)系設(shè)計(jì)解題思路求解：


(1)α＋eq \f(π,4)與2α＋eq \f(π,2)，α－eq \f(π,4)與2α－eq \f(π,2)具有2倍關(guān)系，用二倍角公式聯(lián)系；


(2)2α＋eq \f(π,2)與2α差eq \f(π,2)，用誘導(dǎo)公式聯(lián)系．


[解] (1)∵eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4).


∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＞0，


∴eq \f(3π,2)＜α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(4,5)，


∴cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，


sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,25)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(7,25)＝－eq \f(31\r(2),50).


(2)∵sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1))


＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，


∴原式可化為1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，


解得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,2).


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)，


即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12).





1．在例2(1)的條件下，求sin 4α的值．


[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcs 2α＝2×eq \f(7,25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))＝－eq \f(336,625).


2．將例2(1)的條件改為sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0＜x＜eq \f(π,4)，求eq \f(cs 2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))的值．


[解] ∵0＜x＜eq \f(π,4)，∴eq \f(π,4)－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13).


又cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))


＝2×eq \f(5,13)×eq \f(12,13)＝eq \f(120,169)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))


＝eq \f(5,13)，


∴原式＝eq \f(\f(120,169),\f(5,13))＝eq \f(24,13).





解決條件求值問題的方法


?1?有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.


?2?當(dāng)遇到這樣的角時(shí)可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通.











[探究問題]


1．解答化簡(jiǎn)證明問題時(shí)，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情況，通常要如何處理？


提示：通常要切化弦后再進(jìn)行變形．


2．證明三角恒等式時(shí)，通常的證明方向是什么？


提示：由復(fù)雜一側(cè)向簡(jiǎn)單一側(cè)推導(dǎo)．


【例3】 (1)化簡(jiǎn)：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝ .


(2)證明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°?4cs212°－2?)＝－4eq \r(3).


[思路點(diǎn)撥] (1)通分變形．


(2)eq \x(切化弦通分，構(gòu)造二倍角的余弦)→eq \x(二倍角的正弦)→eq \x(約分求值)


(1)－tan 2θ [原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,?tan θ＋1??tan θ－1?)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－tan 2θ.]


(2)[證明] 左邊＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°?2cs212°－1?)


＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)


＝eq \f(2\r(3)sin?12°－60°?,sin 24°cs 24°)


＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)


＝－4eq \r(3)＝右邊，


所以原等式成立．





證明三角恒等式的原則與步驟


?1?觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡(jiǎn)，即采用“兩頭湊”的思想.


?2?證明恒等式的一般步驟：


①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；


②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


2．求證：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；


(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.


[證明] (1)左邊＝eq \f(1＋cs?2A＋2B?,2)－eq \f(1－cs?2A－2B?,2)


＝eq \f(cs?2A＋2B?＋cs?2A－2B?,2)


＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)


＝cs 2Acs 2B＝右邊，


∴等式成立．


(2)法一：左邊＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))


＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右邊．


∴等式成立．


法二：右邊＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ


＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)


＝左邊．


∴等式成立.








1．理解1個(gè)概念——二倍角


對(duì)于“二倍角”應(yīng)該有廣義上的理解，如：


8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2·α,2n＋1)(n∈N*)．


2．活用1組公式——二倍角公式


在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應(yīng)用廣泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cs 2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，③1－cs 2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).


3．把握2種思想


(1)換元思想；(2)整體思想．





1．已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值為( )


A．2 B．－2


C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)


D [因?yàn)閟in α＝3cs α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4).]


2．已知函數(shù)f(x)＝2cs2x－sin2x＋2，則( )


A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3


B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4


C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3


D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4


B [易知f(x)＝2cs2x－sin2x＋2＝3cs2x＋1＝eq \f(3,2)(2cs2x－1)＋eq \f(3,2)＋1＝eq \f(3,2)cs 2x＋eq \f(5,2)，則f(x)的最小正周期為π，當(dāng)x＝kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4.]


3．已知sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(3),3)，那么sin θ＝ ，cs 2θ＝ .


eq \f(1,3) eq \f(7,9) [因?yàn)閟in eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(3),3)，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))2＝eq \f(4,3)，


即1＋2sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝eq \f(4,3)，


所以sin θ＝eq \f(1,3)，


所以cs 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,9).]


4．設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，則tan 2α的值是 ．


eq \r(3) [∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcs α＝－sin α.


由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，


∴cs α＝－eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(2π,3)，


∴tan 2α＝taneq \f(4π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).]


5．已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs α＝－eq \f(4,5).


(1)求tan α的值；


(2)求sin 2α＋cs 2α的值．


[解] (1)因?yàn)閏s α＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,2)＜α＜π，所以sin α＝eq \f(3,5)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).


(2)因?yàn)閟in 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，


cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，


所以sin 2α＋cs 2α＝－eq \f(24,25)＋eq \f(7,25)＝－eq \f(17,25).


學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.能利用兩角和的正、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重點(diǎn))


2.能利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明．(難點(diǎn))


3.熟悉二倍角公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(易錯(cuò)點(diǎn))
1.通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).


2.借助運(yùn)算求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
記法
公式
S2α
sin 2α＝2sin αcs α
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
給角求值
給值求值、求角問題
化簡(jiǎn)證明問題