
第2章 特殊三角形2.5 逆命題和逆定理
如圖2-26,有甲、乙兩個(gè)三角形.甲三角形的內(nèi)角分別為10°,20°,150°;乙三角形的內(nèi)角分別為80°,25°,75°.你能把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎?畫(huà)一畫(huà),并標(biāo)出各角的度數(shù). ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
下列句子是命題的是( )A.畫(huà)∠AOB=45° B. 小于直角的角是銳角嗎?C.連結(jié)CD D. 同位角相等
對(duì)某件事作出正確或不正確判斷的句子叫做命題
命題的結(jié)構(gòu):命題由條件、結(jié)論組成
命題有真有假。正確的命題是真命題,錯(cuò)誤的命題是假命題。
⑷如果a2=b2,那么a=b。
⑶如果a=b,那么a2=b2。
⑵同位角相等,兩直線平行
⑴兩直線平行,同位角相等
觀察表中的命題,命題⑴與命題⑵有什么關(guān)系?命題⑶與命題⑷呢?
在兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件,那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。
我們把其中的一個(gè)叫做原命題,另一個(gè)叫做它的逆命題。
每個(gè)命題都有它的逆命題,但每個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題,同樣,每個(gè)假命題的逆命題也不一定是假命題。
同位角相等,兩直線平行.
(3)磁懸浮列車(chē)是一種高速行駛時(shí)不接觸地面的 交通工具。
說(shuō)出下列命題的逆命題,并判定是真命題還是假命題:
高速行駛時(shí)不接觸地面的交通工具是磁懸浮列車(chē)。
(1)兩直線平行,同位角相等.
判斷下列說(shuō)法是否正確?請(qǐng)說(shuō)明理由
(1)假命題沒(méi)有逆命題;
(2)真命題沒(méi)有逆命題;
(3)每個(gè)命題都有逆命題;
(4)真命題的逆命題是真命題
請(qǐng)舉例說(shuō)明一個(gè)原命題是真命題,逆命題也是真命題的例子;
有沒(méi)有原命題是真命題,而逆命題是假命題的例子?
⑴任意作一條線段,并畫(huà)出它的中垂線
⑵線段的中垂線(垂直平分線)有什么性質(zhì)?
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
⑶請(qǐng)說(shuō)出它的逆命題,并證明這個(gè)逆命題是真命題.
已知:如圖,AB是一條線段,P是一點(diǎn),且PA=PB
求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
∵PA=PB,PO⊥AB,
∴OA=OB(等腰三角形三線合一性質(zhì))
∴PC是AB的垂直平分線。
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
解: 這個(gè)定理的逆命題是: 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.
⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,結(jié)論顯然成立;
⑴當(dāng)點(diǎn)P不在 線段AB上時(shí),
∴綜上所述,點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題,那么就叫它是原定理的逆定理,這兩個(gè)定理叫互逆定理。
線段垂直平分線性質(zhì)定理:
到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上
線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理:
∵PA=PB∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上
下列說(shuō)法哪些正確,哪些不正確?
(1)每個(gè)定理都有逆定理。
(2)每個(gè)命題都有逆命題。
(3)假命題沒(méi)有逆命題。
(4)真命題的逆命題是真命題。
例2、說(shuō)出命題“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的逆命題,判斷這個(gè)命題的真假,并說(shuō)明理由。
解:逆命題是 “如果兩個(gè)三角形的面積相等,那么這兩個(gè)三角形全等”
說(shuō)明一個(gè)命題是真命題需經(jīng)證明,而說(shuō)明一個(gè)命題是假命題只需舉一個(gè)反例。
1.寫(xiě)出下列各命題的逆命題,并判斷互逆命題的真假:
(2)如果|a|=|b|,那么a=b;
(3)等邊三角形的三個(gè)角都是60°
逆命題:相等的角是同位角,
逆命題:如果a=b,那么|a|=|b|
逆命題:三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形
寫(xiě)出定理“等腰三角形底邊上的高線和中線互相重合”的逆命題,并證明這個(gè)逆命題是真命題。
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