第1課時(shí) 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題（1）








┃教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)┃








【教學(xué)目標(biāo)】


1.掌握平面內(nèi)一條直線同側(cè)兩個(gè)點(diǎn)到直線上的某一點(diǎn)距離之和為最小值時(shí)點(diǎn)的位置的確定.


2.能利用軸對(duì)稱和平移解決實(shí)際問(wèn)題中路徑最短的問(wèn)題.


【重點(diǎn)難點(diǎn)】


重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”.


難點(diǎn)：最短路徑問(wèn)題的解決思路及證明方法.
教學(xué)過(guò)程
設(shè)計(jì)意圖
一、直接導(dǎo)入


利用軸對(duì)稱不但可以設(shè)計(jì)出美麗的圖案，而且在解決現(xiàn)實(shí)生活中的某些問(wèn)題時(shí)其作用也是神奇的.前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“飲馬問(wèn)題”.
開(kāi)門見(jiàn)山直接導(dǎo)入，用問(wèn)題激起學(xué)生探究的興趣.
二、師生互動(dòng)，探究新知





問(wèn)題1：要在公路上修建一個(gè)泵站C，分別向公路兩側(cè)A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在什么地方，可使泵站C到A，B兩鎮(zhèn)所用的輸氣管線最短？


教師提出問(wèn)題：“這是個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么呢？”


學(xué)生回答：“將A，B兩鎮(zhèn)抽象成兩個(gè)點(diǎn)，將公路抽象為一條直線”.


繼而教師提出問(wèn)題：“為什么交點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離之和最小呢？”


學(xué)生會(huì)非常自然地想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”的理論來(lái)證明.


教師再次提問(wèn)：“如果另取一點(diǎn)C′，你能證明此時(shí)的距離超過(guò)了剛才的距離嗎？”學(xué)生會(huì)想到連接AC′，BC′，用“三角形兩邊之和大于第三邊”去證明.


問(wèn)題2：“飲馬問(wèn)題”.





如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河流l邊飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？


此題是課本例題，引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即把A，B兩地抽象為兩點(diǎn)，將河流l抽象成為一條直線，再讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思.


學(xué)生嘗試回答，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí).


教師提問(wèn)：點(diǎn)C取在哪呢？


讓學(xué)生自主探究、合作交流，與教師適當(dāng)點(diǎn)撥相結(jié)合，來(lái)展示分析過(guò)程.


教師引導(dǎo)總結(jié)：通過(guò)軸對(duì)稱可在不改變路徑和的前提下把兩條不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，達(dá)到了化“折”為“直”的目的.此總結(jié)不但讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到軸對(duì)稱的橋梁作用，而且對(duì)利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題的方法“和最小，對(duì)稱找”起到了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用.


教師提出問(wèn)題：“證明AC＋BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合)？這里的“C′”的作用是什么呢？”


學(xué)生互相交流，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直線l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C不重合)與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC＋BC，就說(shuō)明AC＋BC最小.讓學(xué)生完成證明過(guò)程.









讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)找到點(diǎn)C是線段AB與公路的交點(diǎn).














讓學(xué)生初步嘗試了“最值問(wèn)題”的證明方法，起到了分散難點(diǎn)的作用.



































讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)抽象為“線段和最小問(wèn)題”





學(xué)生對(duì)于最短路徑問(wèn)題通常感到無(wú)從下手，所以此處深入分析，讓學(xué)生經(jīng)歷最短路徑問(wèn)題的分析過(guò)程.
三、運(yùn)用新知，解決問(wèn)題


(若把點(diǎn)A變成直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢？出示變式1，學(xué)生探究后展示分析過(guò)程)


變式1：如圖1，已知直線m，l和點(diǎn)B，在直線m，l上分別取點(diǎn)A、點(diǎn)C，使點(diǎn)B到點(diǎn)C再到點(diǎn)A的距離之和最小.





圖1





圖2


學(xué)生思考，教師引導(dǎo)，解決問(wèn)題.


(點(diǎn)A，C取在哪里與點(diǎn)B構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)最小呢？探究變式2)


變式2：如圖2，有兩條直線m，l和一點(diǎn)B，在直線m，l上分別取點(diǎn)A、點(diǎn)C，使△BAC的周長(zhǎng)最小.


分析：要使周長(zhǎng)最小，就要使三條不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，通過(guò)軸對(duì)稱就可以達(dá)到化折為直的目的.
通過(guò)兩個(gè)變式練習(xí)讓學(xué)生充分地感受到利用軸對(duì)稱和“垂線段最短，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊”等知識(shí)解決這樣路徑最短的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)一題多變，開(kāi)闊了學(xué)生的思維.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)


1.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你獲得了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法？


2.這節(jié)課你參與了哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)？談?wù)勀惬@得知識(shí)的方法和經(jīng)驗(yàn).
通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題使學(xué)生更好地反思與總結(jié)、全班交流，讓學(xué)生在知識(shí)、能力和情感態(tài)度等方面得到發(fā)展.
五、布置作業(yè)，鞏固提升





如圖，∠XOY內(nèi)有一點(diǎn)P，在射線OX上找出一點(diǎn)M，在射線OY上找出一點(diǎn)N，使PM＋MN＋NP最短.
【板書(shū)設(shè)計(jì)】


課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題(1)





【教學(xué)反思】


1.注重學(xué)生的探究過(guò)程與小組交流的應(yīng)用


最短路徑問(wèn)題對(duì)學(xué)生而言是第一次接觸，難度較大，為了突破難點(diǎn)，讓學(xué)生充分地去探究討論，在此過(guò)程中提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.


2.強(qiáng)化行為反思


“反思是數(shù)學(xué)的重要活動(dòng)，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中始終融入反思的環(huán)節(jié)，用問(wèn)題的設(shè)計(jì)，課堂小結(jié)，課后的數(shù)學(xué)日記等方式引發(fā)學(xué)生反思，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟解決問(wèn)題的策略，積累學(xué)習(xí)方法.



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13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題

版本： 人教版

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