13.4  課題學(xué)習(xí)  最短路徑問(wèn)題 教學(xué)目標(biāo)1.目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想.2.能利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題；在探索最算路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情景  引入課題師：前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”． （板書(shū)）課題 學(xué)生思考教師展示問(wèn)題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識(shí).從生活中問(wèn)題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.二、自主探究  合作交流  建構(gòu)新知追問(wèn)1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題　這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？ 活動(dòng)1：思考畫(huà)圖、得出數(shù)學(xué)問(wèn)題將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線．          追問(wèn)2　你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答， 并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）．           強(qiáng)調(diào)：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”  活動(dòng)2：嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題2 ： 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？ 追問(wèn)1　你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？          　問(wèn)題3  如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB的和最??？                 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，互相補(bǔ)充如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l 相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C 即為所求． 如圖所示：       問(wèn)題3　你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？  教師展示：證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′．    由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，    BC =B′C，BC′=B′C′．    ∴　AC +BC       = AC +B′C = AB′，        AC′+BC′       = AC′+B′C′．                 方法提煉：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”.問(wèn)題4練習(xí)　如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑．           基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q 在直線BC 的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR 的和最小”． 問(wèn)題5  造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）          思維分析：1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？         思維點(diǎn)撥：改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？（估計(jì)有以下方法）1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?問(wèn)題解決：如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN  如圖所示：           方法提煉：將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問(wèn)題”   動(dòng)手畫(huà)直線    觀察口答        動(dòng)手連線觀察口答        獨(dú)立思考合作交流     匯報(bào)交流成果，書(shū)寫(xiě)理由.     思考感悟活動(dòng)1中的將軍飲馬問(wèn)題，把剛學(xué)過(guò)的方法經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)      學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正                            學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正                       互相交流解題經(jīng)驗(yàn)                 獨(dú)立完成，交流經(jīng)驗(yàn)   觀察思考，動(dòng)手畫(huà)圖，用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)進(jìn)行解決                            各抒己見(jiàn)     合作與交流                           交流體會(huì)   為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生的把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.        經(jīng)歷觀察-畫(huà)圖-說(shuō)理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.         達(dá)到軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)的學(xué)以致用 注意問(wèn)題解決方法的小結(jié)：抓對(duì)稱(chēng)性來(lái)解決       及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，注重方法規(guī)律的提煉總結(jié).          學(xué)以致用，及時(shí)鞏固                            注意問(wèn)題解決方法的小結(jié)：抓軸對(duì)稱(chēng)來(lái)解決      經(jīng)歷觀察-畫(huà)圖-說(shuō)理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.          提煉思想方法：軸對(duì)稱(chēng)，線段和最短                 體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，    體驗(yàn)軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)的應(yīng)用                                動(dòng)手體驗(yàn)       動(dòng)手作圖                          體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖三、鞏固訓(xùn)練1、最短路徑問(wèn)題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求．如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)．(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn)． 2.如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）       如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處      .          學(xué)生獨(dú)立思考解決問(wèn)題                     獨(dú)立思考，合作交流.        鞏固所學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，滲透轉(zhuǎn)化思想.                    提煉方法，為課本例題奠定基礎(chǔ).四、反思小結(jié)  布置作業(yè)小結(jié)反思 （1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？ （2）軸對(duì)稱(chēng)在所研究問(wèn)題中起什么作用？解決問(wèn)題中，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還有哪些收獲？  作業(yè)布置、課后延伸必做題：課本P93-15題；選做題：生活中，你發(fā)現(xiàn)那些需要用到本課知識(shí)解決的最短路徑問(wèn)題自由發(fā)言,相互借鑒.自我評(píng)價(jià). 總結(jié)回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納反思所學(xué)知識(shí)及思想方法. 關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異.板書(shū)設(shè)計(jì)： 教學(xué)反思：   

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13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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