13．4　課題學習　最短路徑問題一、基本目標【知識與技能】1．理解并掌握平面內一條直線同側兩個點到直線上的某一點距離之和為最小值時點的位置的確定．2．理解并掌握平面內兩平行線異側有兩個點，則在平行線間何處作垂線段使得順次連結的三條線段之和最小的位置的確定．【過程與方法】經歷觀察—畫圖—說理等活動，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學生的邏輯思考能力及把實際問題轉化為數學問題的能力，感悟轉化思想，數形結合思想的運用．【情感態(tài)度與價值觀】從生活實際問題出發(fā)，喚起學生的學習興趣，激發(fā)學生學習欲望，從而主動參與數學學習活動中，體會解決問題的成功感受，同時感悟數學來源于生活又用于生活．二、重難點目標【教學重點】利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題．【教學難點】利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．環(huán)節(jié)1　自學提綱，生成問題【5 min閱讀】閱讀教材P85～P87的內容，完成下面練習．【3 min反饋】1．如圖，要在街道旁修建一個供水站，向居民區(qū)A、B提供飲用水，分別滿足以下條件，供水站應建在什么地方？(1)使從A、B到它的距離相等；(2)使從A，B到它的距離之和最短．解：(1)建在線段AB的垂直平分線與街道的交點上．(2)建在點A關于街道的對稱點和點B的連線與街道的交點上．圖略．2．如教材P87圖13.4－9，路徑AMNB最短的依據是什么？解：依據有2點：①平移前后的線段平行且相等；②兩點之間線段最短．環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題活動1　小組討論(師生互學)【例1】如教材P87圖13.4－9，求證：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互動探索】(引發(fā)學生思考)證明線段間的不等式關系，一般從三角形的三邊關系入手．【證明】由題意，得AM＝A′N，AM′＝A′N′，MN＝M′N′.∴AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B.又∵A′B<A′N′＋N′B，∴AM＋NB<AM′＋N′B.∴AM＋NM＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互動總結】(學生總結，老師點評)運用三角形的三邊關系證明線段和之間的不等關系是常用的技巧．活動2　鞏固練習(學生獨學)某中學八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖所示兩直排(圖中的AO、BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？解：如圖：(1)作C點關于OA的對稱點C1，作D點關于OB的對稱點D1；(2)連結C1D1，分別交OA、OB于P、Q，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短．活動3　拓展延伸(學生對學)【例2】如圖，A、B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．【互動探索】此題的突破點是作點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點C，把問題轉化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．【解答】如圖，以直線l為對稱軸，作點A關于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連結CA、C′A、C′A′、C′B.因為點A、A′關于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A－C′B＜CA－CB.【互動總結】(學生總結，老師點評)根據軸對稱的性質、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．環(huán)節(jié)3　課堂小結，當堂達標(學生總結，老師點評)利用軸對稱、平移等變換可以解決最短路徑問題．請完成本課時對應練習！  

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13.4 課題學習 最短路徑問題

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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