一、選擇題


1．下列各組線段中，能組成三角形的是( )


A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，6


2．在△ABC中，∠A－∠C=∠B，那么△ABC是( )


A．等邊三角形 B．銳角三角形


C．鈍角三角形 D．直角三角形


3．如圖所示，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC的一條角平分線，則∠CAD的度數(shù)為( )





A．40° B．45° C．50° D．55°


4．如圖所示，AB⊥AD，AB⊥BC，則以AB為一條高線的三角形共有( )





A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


5．如圖所示，點P在BC上，AB⊥BC于點B，DC⊥BC于點C，△ABP≌△PCD，其中BP=CD，則下列結(jié)論中錯誤的是( )





A．∠A＋∠CPD=90° B．AP=PD C．∠APB=∠D D．AB=PC


6．如圖所示，點F，C在AD上，在△ABC和△DEF中，若BC=EF，AF=CD，添加下列四個條件中的一個，能判定這兩個三角形全等的是( )





A．∠B=∠E B．AC=DF C．∠A=∠D D．∠ACB=∠EFD








7．下列命題中，真命題是( )


A．垂直于同一直線的兩條直線平行


B．有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等


C．三角形三個內(nèi)角中，至少有2個銳角


D．有兩條邊和一個角對應相等的兩個三角形全等


8．如圖所示，點C，E分別在AD，AB上，BC與DE相交于點F.若△ABC與△ADE全等，則圖中全等的三角形共有( )





A．4對 B．3對 C．2對 D．1對


9．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E.若AB=6 cm，則△DEB的周長為( )





A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm


10．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD，CE相交于點H，已知EH=EB=6，AE=8，則CH的長是( )





A．1 B．2 C．3 D．4








二、填空題


11．已知點P在線段AB的垂直平分線上，若PA=6，則PB=________.








12．如圖所示，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE(不標注新的字母，不添加新的線段)，你添加的條件是____________(寫出一個即可)．





14.如圖所示，兩個直角三角形疊放在一起，∠B=30°，∠E=42°，則∠α=________°.





14．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AE為∠BAC的平分線，且∠DAE=15°，∠B=35°，則∠C=________°.





15．已知三角形的三邊長分別是3，x，9，則化簡|x－5|＋|x－13|=________．


16．如圖，點D，E，F(xiàn)，B在同一條直線上，AB∥CD，AE∥CF且AE=CF.若BD=10，BF=3.5，則EF=________．





三、解答題


17．(6分)有一塊不完整的三角形玻璃，如圖所示，請將它補全，并用尺規(guī)畫出最小角的平分線和最長邊的垂直平分線(不寫作法，只保留作圖痕跡)．


























18．(6分)如圖所示，已知AD是△ABC的中線，AB=8 cm，AC=5 cm，求△ABD和△ACD的周長差．











19．(6分)證明命題“全等三角形對應邊上的高相等”．


已知：如圖所示，△ABC≌△EFG，AD，EH分別是△ABC和△EFG的對應邊BC，F(xiàn)G上的高．


求證：AD=EH.




















20．(8分)如圖所示，已知點A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE.


(1)從圖中任找兩組全等三角形；


(2)從(1)中任選一組進行證明．





























21．(8分)在數(shù)學課上，林老師在黑板上畫出了如圖所示的△ABD和△ACE兩個三角形，并寫出了四個條件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.請你從這四個條件中選出三個作為題設，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并給予證明．


題設：________；


結(jié)論：________．(均填寫序號)


證明：











22．(10分)如圖所示，已知AB=DC，DB=AC.


(1)求證：∠ABD=∠DCA；


(2)在(1)的證明過程中需要作輔助線，它的意圖是什么？














23．(10分)如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AC上一點，AE=AB，連結(jié)DE.


(1)求證：△ABD≌△AED；


(2)已知BD=5，AB=9，求AC長．











24．(12分)如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是經(jīng)過點A的直線，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為D，E.


(1)求證：①∠BAD=∠ACE；②BD=AE.


(2)請寫出BD，CE，DE三者間的數(shù)量關系式，并證明．


































































































答案


1．B


2．D


3．A


4．D


5．A


6．D


7．C


8．A


9． B


10．B


11．6


12．答案不唯一，如AB=AC


13．72


14．65


15．8


16．3


17．解：如圖所示，∠BAC是最小角，AB是最長邊，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB.





18．解：∵AD是△ABC中BC邊上的中線，


∴BD=DC=eq \f(1,2)BC，


∴△ABD和△ACD的周長差為


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB＋\f(1,2)BC＋AD))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AC＋\f(1,2)BC＋AD))=AB－AC=8－5=3(cm)．


19．證明：∵△ABC≌△EFG，


∴AB=EF，∠B=∠F.


∵AD，EH分別是△ABC和△EFG的對應邊BC，F(xiàn)G上的高，∴∠ADB=∠EHF=90°.


在△ABD和△EFH中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADB＝∠EHF，,∠B＝∠F，,AB＝EF，))


∴△ABD≌△EFH(AAS)，∴AD=EH.


20．解：(1)△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF(答案不唯一，任選兩組寫出即可)．


(2)答案不唯一，如證△ABE≌△CDF.


證明：∵AF=CE，∴AF＋EF=CE＋EF，即AE=CF.


∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF.


又∵∠ABE=∠CDF，


∴△ABE≌△CDF(AAS)．


或證△ABC≌△CDA.


證明：易證△ABE≌△CDF，∴AB=CD.


又∵∠BAC=∠DCA，AC=CA，


∴△ABC≌△CDA(SAS)．


或證△BCE≌△DAF.


證明：易證△ABE≌△CDF，


∴∠BEA=∠DFC，BE=DF，


∴∠BEC=∠DFA.


又∵CE=AF，


∴△BCE≌△DAF(SAS)．


21．解：答案不唯一．如題設：①②③；結(jié)論：④.


證明：∵∠1=∠2，


∴∠1＋∠CAD=∠2＋∠CAD，


即∠BAD=∠CAE.


在△ABD和△ACE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))


∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B=∠C.


22．解：(1)證明：如圖所示，連結(jié)AD.





在△BAD和△CDA中，


∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DC，,DB＝AC，,AD＝DA，))∴△BAD≌△CDA(SSS)，


∴∠ABD=∠DCA(全等三角形的對應角相等)．


(2)作輔助線的意圖是通過作兩個三角形的公共邊構造全等三角形．


23．解：(1)證明：∵AD是∠BAC的平分線，


∴∠BAD=∠EAD.


在△ABD和△AED中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AE，,∠BAD＝∠EAD，,AD＝AD，))


∴△ABD≌△AED(SAS)．


(2)∵△ABD≌△AED，


∴AE=AB=9，DE=BD=5，∠AED=∠B.


由三角形的外角性質(zhì)，得∠AED=∠C＋∠CDE.


又∵∠ABC=2∠C，∴∠C=∠CDE，


∴CE=DE=5，∴AC=AE＋CE=9＋5=14.


24．解：(1)證明：①∵∠BAC=90°，


∴∠BAD＋∠CAE=90°.


∵CE⊥MN，∴∠ACE＋∠CAE=90°，


∴∠BAD=∠ACE.


②∵BD⊥MN，CE⊥MN，


∴∠BDA=∠AEC=90°.


在△ABD和△CAE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BDA＝∠AEC，,∠BAD＝∠ACE，,AB＝AC，))


∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE.


(2)BD=CE＋DE.證明如下：


∵△ABD≌△CAE，


∴BD=AE，AD=CE.


∵AE=AD＋DE，


∴BD=CE＋DE.


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