一、填空題


1．三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是（ ）


A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰三角形


2．已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是（ ）


A．3B．5C．7D．9


3．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ）





A．CB=CDB．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DCAD．∠B=∠D=90°


4．如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為（ ）





A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°


5．如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（ ）





A．20°B．25°C．30°D．40°


6．到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（ ）


A．三條中線交點(diǎn)B．三條角平分線交點(diǎn)


C．三條高的交點(diǎn)D．三條邊的垂直平分線交點(diǎn)


7．如圖，△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為（ ）





A．35°B．25°C．45°D．55°


8．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為（ ）





A．1B．2C．3D．4


9．如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（ ）





A．45°B．54°C．40°D．50°


10．已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點(diǎn)O．現(xiàn)有以下結(jié)論：


①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=．


其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）





A．1B．2C．3D．4


二、填空題


11．若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有 個(gè)．


12．如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為 ．





13．在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，連接DE，若BC=4，則DE= ．


14．如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，測得MN=32m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是 m．





15．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= ．





16．如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠A=28°，∠B=130°，


則∠A′NC= °．





17．如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3= 度，∠4+∠5+∠6= 度．





18．如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則


（1）θ1= ；


（2）θn= ．





三、解答題


19．已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．


求證：BC=DE．





20．三角形內(nèi)角和等于 ．


（2）請證明以上命題．

















21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．


（1）求∠CAD的度數(shù)；


（2）延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE．

















22．如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C．


（1）尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D（作圖不寫作法，但保留作圖痕跡）；


（2）猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”．請你通過計(jì)算說明猜想是否成立．




















23．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．


求證：（1）△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．




















24．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．






































25．問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．


若∠A=80°，則∠BEC= ；若∠A=n°，則∠BEC= ．


探究：


（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC= ；


（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，則∠BEC= ；


（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，則∠BEC= ．



























































26．【問題提出】


學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．


【初步思考】


我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．





【深入探究】


第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．


（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．


第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．


（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．


第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．


（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）


（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF．





參考答案


1．B．


2．D．


3．C．


4．C．


5．B．


6．B．


7．D．


8．D．


9．C．


10．C．


11．答案為5．


12．答案為：130°．


13．答案為：2．


14．答案為：64．


15．答案是：6．


16．答案為：136．


17．答案為：180，360．


18．答案為：（1）；（2）θn=．


19．證明：∵AB∥EC，


∴∠A=∠DCE，


在△ABC和△CDE中，，


∴△ABC≌△CDE，


∴BC=DE．


20．解：（1）三角形內(nèi)角和等于180°．故答案為：180°；


（2）已知：如圖所示的△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°．


證明：過點(diǎn)C作CF∥AB，


∵CF∥AB，


∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，


∵∠1+∠2=∠BCF，


∴∠B+∠1+∠2=180°，


∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形內(nèi)角和等于180°．





21．（1）解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，


∴∠B=30°，


∴∠CAB=60°．


又∵AD平分∠CAB，


∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；


（2）證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，


∴∠ECD=90°，


∴∠ACD=∠ECD．


在△ACD與△ECD中，


，


∴△ACD≌△ECD（SAS），


∴DA=DE．


22．解：（1）如圖所示：BD即為所求；


（2）∵∠A=36°，


∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，


∵BD平分∠ABC，


∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，


∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，


∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，


∴AD=DB，BD=BC，


∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．





23．（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°


∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD


即∠BAD=∠CAE，


又∵AB=AC，AD=AE，


∴△BAD≌△CAE（SAS）．


（2）BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．


證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，


∴∠ADB=∠E．


∵∠DAE=90°，


∴∠E+∠ADE=90°．


∴∠ADB+∠ADE=90°．


即∠BDE=90°．


∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．


24．解：在△ABF和△ACE中，


，


∴△ABF≌△ACE（SAS），


∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的對應(yīng)角相等），


∴BF=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等），


∵AB=AC，AE=AF，


∴BE=CF，


在△BEP和△CFP中，


，


∴△BEP≌△CFP（AAS），


∴PB=PC，


∵BF=CE，


∴PE=PF，


∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE．


25．解：問題：如圖1，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，


∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分線的定義），


∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）


=180°﹣（∠ABC+∠ACB）


=180°﹣（180°﹣∠A）


=90°+∠A；


若∠A=80°，則∠BEC=130°；若∠A=n°，則∠BEC=90°+n°．


探究：（1）如圖2，


∵線段BD、BE把∠ABC三等分，


∴∠EBC=∠ABC；


又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，


∴∠ECB=∠ACB；


∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），


∴∠BEC=180°﹣（180°﹣∠A）=60°+∠A，


若∠A=n°，則∠BEC=60°+n°；


（2）如圖3，


∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，


∴∠EBC=∠ABC，∠ACE=∠ACM，


又∵∠ACM是△ABC的一外角，


∴∠ACM=∠A+∠ABC，


∴∠ACE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，


∵∠ACM是△BEC的一外角，


∴∠BEC=∠ACE﹣∠EBC=∠A+∠EBC﹣∠EBC=∠A；


若∠A=n°，則∠BEC=n°；


（3）如圖4，


∵∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），


∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）


=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB）=90°﹣∠A=90°﹣n°．


故答案為問題：130°；90°+n°；探究：（1）；（2）n°；（3）90°﹣n°．


26．（1）解：HL；


（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長線于H，


∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，


∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，


即∠CBG=∠FEH，


在△CBG和△FEH中，


，


∴△CBG≌△FEH（AAS），


∴CG=FH，


在Rt△ACG和Rt△DFH中，


，


∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），


∴∠A=∠D，


在△ABC和△DEF中，


，


∴△ABC≌△DEF（AAS）；





（3）解：如圖，△DEF和△ABC不全等；





（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．


故答案為：（1）HL；（4）∠B≥∠A．








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