1.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax（a>0，且a≠1）互為反函數(shù).4.比較幾類函數(shù)模型增長(zhǎng)的差異，并利用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué) 建模、直觀想象
【定義】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由 可以得到
也是 的函數(shù).而通常我們用 表示自變量，用
一般地，函數(shù) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，定義域是(0，+∞)
【問題】怎樣判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？
【答】抓住對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的三個(gè)結(jié)構(gòu)特征：
【1】 的系數(shù)為1
【2】 底數(shù) 滿足 .
【3】 真數(shù)是自變量 .
為什么對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是(0，+∞)？
【答】由函數(shù)定義及解析式 可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的自 變量 恰好是指數(shù) 函數(shù)的函數(shù)值 ， 所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 域是(0，+∞)
【1】求下列函數(shù)的定義域.
所以函數(shù) 的定義域是
所以函數(shù) 的定義域是
【1】 的圖像
【2】 的圖像
【3】 和 圖像
利用換底公式，可以得到下式：
即這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 軸對(duì)稱.實(shí)際上
對(duì)于一般的兩個(gè)函數(shù) 和
利用點(diǎn) 和點(diǎn) 的關(guān)系即可證明 .
在同一坐標(biāo)系中畫出不同底數(shù)的圖像，通過圖像我們發(fā)現(xiàn)除了 和 的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱之外，還可以把底數(shù) 分成和 兩種情況來(lái)討論:
【問題】怎樣畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像？
三個(gè)點(diǎn)之后，用平滑的曲線連接起來(lái)即可.
①圖像都在y軸右側(cè)②都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）③無(wú)限靠近y軸但不相交④ 時(shí)，圖像上升⑤ 時(shí)，圖像下降
【注意】①對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化：
②對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性口訣：
對(duì)數(shù)函數(shù)有兩種，底數(shù)大小要分清；
底數(shù)若是大于1，圖像從左往右增.
底數(shù)0到1之間1，圖像從左往右減；
無(wú)論函數(shù)增或減，圖像都過(1,0)點(diǎn).
【1】比較下列各式的大小.
【探究】觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù) ，定義域R,值域(0,+∞)和對(duì)數(shù)函數(shù) ，定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽，他們的定義域和值域恰好相 反，并且它們的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，那么我們就稱函數(shù) 的反函數(shù)是 ，函數(shù) 的反函數(shù)是 這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).
【結(jié)論】一般地，指數(shù)函數(shù) 與對(duì)數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)，它們的定義域和值域互換.
【指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的比較】
兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對(duì)稱
【1】求下面函數(shù)的定義域.
1.下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是A.y＝lgax＋1(a＞0且a≠1)B.y＝lga(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝lg(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2lgax(a＞0且a≠1)
2.函數(shù)y＝lg2(x－2)的定義域是A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(2，＋∞) D.[4，＋∞)
3.函數(shù)y＝2lg4(1－x)的圖象大致是
解析　函數(shù)y＝2lg4(1－x)的定義域?yàn)?－∞，1)，排除A，B；又函數(shù)y＝2lg4(1－x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除D.故選C.
4.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝_____.
5.函數(shù)f(x)＝ln x2的減區(qū)間為_________.
1.含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)g”的函數(shù)不一定是對(duì)數(shù)函數(shù).判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，不僅要含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)g”，還要符合對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，即形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2lg2x，y＝lg5 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).2.研究y＝lgaf(x)的性質(zhì)如定義域、值域、比較大小，均需依托對(duì)數(shù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì).3.研究與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象有關(guān)的問題，以對(duì)數(shù)函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，加以平移、伸縮、對(duì)稱或截取一部分.
4.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、奇偶性、不等式問題都要注意定義域的影響.5.y＝ax與x＝lgay圖象是相同的，只是為了適應(yīng)習(xí)慣用x表示自變量，y表示因變量，把x＝lgay換成y＝lgax，y＝lgax才與y＝ax關(guān)于y＝x對(duì)稱，因?yàn)?a，b)與(b，a)關(guān)于y＝x對(duì)稱.

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4.4 對(duì)數(shù)函數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

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