高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊5.3 誘導(dǎo)公式獲獎第1課時教學(xué)設(shè)計-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1課時誘導(dǎo)公式二、三、四

1．了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用．

2．理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程．

3．能運用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題．

1．誘導(dǎo)公式二

(1)角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點對稱．如圖所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，

cs(π＋α)＝－csα，

tan(π＋α)＝tanα.

2．誘導(dǎo)公式三

(1)角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對稱．

如右圖所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sinα.

cs(－α)＝csα.

tan(－α)＝－tanα.

3．誘導(dǎo)公式四

(1)角π－α與角α的終邊關(guān)于

_y__軸對稱．如右圖所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sinα.

cs(π－α)＝－csα.

tan(π－α)＝－tanα.

4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．

1．設(shè)α為銳角，則180°－α，180°＋α，360°－α分別是第幾象限角？

[答案] 分別為第二、三、四象限角

2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)誘導(dǎo)公式中角α是任意角. ( )

(2)公式sin(－α)＝－sinα，α是銳角才成立．( )

(3)公式tan(π＋α)＝tanα中，α＝eq \f(π,2)不成立．( )

(4)在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

題型一給角求值問題

【典例1】求下列三角函數(shù)值：

(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cseq \f(119π,6).

[思路導(dǎo)引] 利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角(一般為特殊角)的三角函數(shù)．

[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq \f(\r(3),2).

(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)

＝tan225°＝tan(180°＋45°)

＝tan45°＝1.

(3)cseq \f(119π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20π－\f(π,6)))

＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).

利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的步驟

[針對訓(xùn)練]

1．計算：(1)taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)＋taneq \f(3π,5)＋taneq \f(4π,5)；

(2)sin(－60°)＋cs225°＋tan135°.

[解] (1)原式＝taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))＋

taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))＝taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)－taneq \f(2π,5)－taneq \f(π,5)＝0.

(2)原式＝－sin60°＋cs(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－eq \f(\r(3),2)－cs45°－tan45°＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)－1＝－eq \f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).

題型二化簡求值問題

【典例2】化簡：(1)eq \f(cs?－α?tan?7π＋α?,sin?π－α?)；

(2)eq \f(sin?1440°＋α?·cs?α－1080°?,cs?－180°－α?·sin?－α－180°?).

[思路導(dǎo)引] 利用誘導(dǎo)公式一～四化簡．

[解] (1)eq \f(cs?－α?tan?7π＋α?,sin?π－α?)

＝eq \f(csαtan?π＋α?,sinα)＝eq \f(csα·tanα,sinα)＝eq \f(sinα,sinα)＝1.

(2)原式

＝eq \f(sin?4×360°＋α?·cs?3×360°－α?,cs?180°＋α?·[－sin?180°＋α?])

＝eq \f(sinα·cs?－α?,?－csα?·sinα)＝eq \f(csα,－csα)＝－1.

利用誘導(dǎo)公式一～四化簡應(yīng)注意的問題

(1)利用誘導(dǎo)公式主要是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到統(tǒng)一角的目的；

(2)化簡時函數(shù)名沒有改變，但一定要注意函數(shù)的符號有沒有改變；

(3)同時有切(正切)與弦(正弦、余弦)的式子化簡，一般采用切化弦，有時也將弦化切．

[針對訓(xùn)練]

2．化簡下列各式．

(1)eq \f(cs?π＋α?·sin?2π＋α?,sin?－α－π?·cs?－π－α?)；

(2)eq \f(cs190°·sin?－210°?,cs?－350°?·tan?－585°?).

[解] (1)原式＝eq \f(－csα·sinα,－sin?π＋α?·cs?π＋α?)

＝eq \f(csα·sinα,sinα·csα)＝1.

(2)原式＝eq \f(cs?180°＋10°?·[－sin?180°＋30°?],cs?－360°＋10°?·[－tan?360°＋225°?])

＝eq \f(－cs10°·sin30°,cs10°·[－tan?180°＋45°?])＝eq \f(－sin30°,－tan45°)＝eq \f(1,2).

題型三給值(式)求值問題

【典例3】若sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，則tan(π－α)等于( )

A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)

C．－eq \r(3) D.eq \f(\r(3),3)

[思路導(dǎo)引] 要尋找已知角與未知角之間的聯(lián)系，然后采用誘導(dǎo)公式使未知角的三角函數(shù)用已知角的三角函數(shù)表示，從而得出結(jié)論．

[解析] 因為sin(π＋α)＝－sinα，

根據(jù)條件得sinα＝－eq \f(1,2)，

又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴csα>0，

所以csα＝eq \r(1－sin2\f(α,2))＝eq \f(\r(3),2).

所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(1,\r(3))＝－eq \f(\r(3),3).

所以tan(π－α)＝－tanα＝eq \f(\r(3),3).故選D.

[答案] D

[變式] (1)若本例把條件變?yōu)閏s(2π－α)＝eq \f(\r(5),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，則tan(π－α)＝________.

(2)若本例改為已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))的值為________．

[解析] (1)因為cs(2π－α)＝csα＝eq \f(\r(5),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2,3)，

則tan(π－α)＝－tanα＝－eq \f(sinα,csα)

＝－eq \f(－\f(2,3),\f(\r(5),3))＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).

(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))

＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2).

[答案] (1)eq \f(2\r(5),5) (2)eq \f(\r(3),2)

解決條件求值問題的策略

(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．

(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．

[針對訓(xùn)練]

3．已知α為第二象限角，且sinα＝eq \f(3,5)，則tan(π＋α)的值是( )

A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)

C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4)

[解析] 因為sinα＝eq \f(3,5)且α為第二象限角，

所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，

所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4).所以tan(π＋α)＝tanα＝－eq \f(3,4).故選D.

[答案] D

課堂歸納小結(jié)

1.四組誘導(dǎo)公式的記憶

四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號看象限”．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數(shù)值的符號．α看成銳角，只是為了公式記憶的方便，實際上α可以是任意角.

2.四組誘導(dǎo)公式的作用

公式一的作用：把不在0～2π范圍內(nèi)的角化為0～2π范

圍內(nèi)的角；

公式二的作用：把第三象限角的三角函數(shù)化為第一象限角的三角函數(shù)；

公式三的作用：把負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)；

公式四的作用：把第二象限角的三角函數(shù)化為第一象限角的三角函數(shù).

1．若cs(π＋α)＝－eq \f(1,3)，則csα的值為( )

A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)

C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)

[解析] cs(π＋α)＝－csα，所以csα＝eq \f(1,3).故選A.

[答案] A

2．sin585°的值為( )

A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)

[解析] sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°

＝－eq \f(\r(2),2).故選A.

[答案] A

3．以下四種化簡過程，其中正確的有( )

①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°；③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.

A．0個 B．1個

C．2個 D．3個

[解析] 由誘導(dǎo)公式一知①正確；由誘導(dǎo)公式四知②錯誤；由誘導(dǎo)公式二知③錯誤；由誘導(dǎo)公式三知④錯誤．

[答案] B

4．已知sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，且α是第四象限角，則cs(α－2π)的值是( )

A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C．±eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)

[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα＝eq \f(4,5)，∴sinα＝－eq \f(4,5)，

且α為第四象限角，∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5).

又∵cs(α－2π)＝cs(2π－α)＝csα＝eq \f(3,5)，∴選B.

[答案] B

5．化簡：eq \f(tan?2π－θ?sin?－2π－θ?cs?6π－θ?,cs?θ－π?sin?5π＋θ?).

[解] 原式＝eq \f(tan?－θ?sin?－θ?cs?－θ?,?－csθ??－sinθ?)

＝eq \f(?－tanθ??－sinθ?csθ,csθsinθ)＝tanθ.

課后作業(yè)(四十一)

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(79π,6)))的值為( )

A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)

[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(79π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－12π－\f(7π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝cseq \f(7π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故選C.

[答案] C

2．sin2(π＋α)－cs(π＋α)cs(－α)＋1的值為( )

A．1 B．2sin2α

C．0 D．2

[解析] ∵原式＝sin2α－(－csα·csα)＋1

＝sin2α＋cs2α＋1＝2，∴選D.

[答案] D

3．若cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，eq \f(3,2)π0>cs2，所以原式＝sin2－cs2.

[答案] sin2－cs2

8．已知sineq \f(5π,7)＝m，則cseq \f(2π,7)＝________.

[解析] 因為sineq \f(5π,7)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,7)))

＝sineq \f(2π,7)＝m，且eq \f(2π,7)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，

所以cseq \f(2π,7)＝eq \r(1－m2).

[答案] eq \r(1－m2)

三、解答題

9．計算下列各式的值：

(1)cseq \f(π,5)＋cseq \f(2π,5)＋cseq \f(3π,5)＋cseq \f(4π,5)；

(2)sin420°cs330°＋sin(－690°)cs(－660°)．

[解] (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\f(4π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\f(3π,5)))

＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))))

＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)－cs\f(π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)－cs\f(2π,5)))＝0.

(2)原式＝sin(360°＋60°)cs(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cs(－2×360°＋60°)＝sin60°cs30°＋sin30°cs60°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.

10．化簡：(1)eq \f(sin?540°＋α?·cs?－α?,tan?α－180°?)；

(2)eq \f(cs?θ＋4π?·cs2?θ＋π?·sin2?θ＋3π?,sin?θ－4π?sin?5π＋θ?cs2?－π＋θ?).

[解] (1)原式＝eq \f(sin[360°＋?180°＋α?],－tan?180°－α?)·csα

＝eq \f(sin?180°＋α?csα,tanα)＝eq \f(－sinαcsα,\f(sinα,csα))＝－cs2α.

(2)原式＝eq \f(csθ·cs2θ·sin2θ,sinθ·?－sinθ?·cs2θ)＝－csθ.

綜合運用

11．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))等于( )

A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)

C.eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3)

[解析] 因為taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))

＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，

所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝－eq \f(1,3).故選B.

[答案] B

12．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，則sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( )

A．－eq \f(2,3)m B．－eq \f(3,2)m

C.eq \f(2,3)m D.eq \f(3,2)m

[解析] 因為sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，

所以sinα＝eq \f(m,2)，則sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)

＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq \f(3,2)m.故選B.

[答案] B

13．已知cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)，且α為第四象限角，則sin(105°＋α)＝________.

[解析] 因為a是第四象限角且cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)

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5.3 誘導(dǎo)公式

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